Розділ 23. МОДЕЛЬ ІНДИВІДУАЛЬНОГО РИЗИКУ

23.1. Точні та наближені методи обчислення ймовірності банкрутства.

23.2. Принципи призначення страхових премій.

Індивідуальні позови становлять інтерес на самі по собі, а передусім з позиції їх наслідків для фінансового стану компанії. Якщо у деякий момент часу £ надходить позов величиною X та капітал компанії в цей момент и{ більший або дорівнює X, то компанія успішно виконає свої зобов'язання. Якщо ж X > щ, то компанія не зможе сплатити позов; у такому випадку йдеться про банкрутство компанії (хоча на практиці компанія може позичити суму, якої не вистачає, Х-щ, та сплатити позов). Ймовірність банкрутства становить фундаментальний інтерес для компанії та є основою для прийняття найважливіших рішень. Для її розрахунку в актуарній математиці розроблено цілу низку моделей різного ступеня складності.

Модель індивідуального ризику є найпростішою моделлю функціонування страхової компанії, яка призначена для розрахунку ймовірності банкрутства. Вона базується на таких припущеннях:

1) аналізується фіксований відносно короткий проміжок часу (такий, що можна знехтувати інфляцією та не враховувати дохід від інвестування) - зазвичай один рік;

2) кількість угод страхування N фіксована та невипадкова;

3) плата за страховку повністю вноситься на початку періоду, що аналізується; ніяких надходжень протягом цього періоду немає;

4) ми спостерігаємо кожну окрему угоду страхування та знаємо статистичні властивості пов'язаного з ним індивідуального позову X (оскільки не всі угоди призводять до позову, деякі з випадкових величин Х19..., Хы, де X, - позов від і-ї угоди, можуть дорівнювати нулю).

У межах цієї моделі банкрутство визначається сумарним позовом £ = Хі+...+Х,, до страхової компанії. Якщо цей сумарний позов більший за капітал компанії, остання не зможе виконати всі свої зобов'язання та збанкрутує. Тому ймовірність банкрутства компанії дорівнює

Л = Р(Х1 +... + ХД, >и). (23.1)

Оскільки у цій моделі фінансовий ризик компанії явно враховує ризик, пов'язаний з кожною індивідуальною угодою, модель (23.1) для розрахунку ймовірності банкрутства компанії називається моделлю індивідуального ризику. У моделі припускається, що випадкові величини X! + ... + Хы - незалежні (таким чином, ми виключаємо катастрофічні нещасні випадки, що призводять до позовів одразу за декількома угодами).

Слід зазначити, що у рамках моделі індивідуального ризику не можна дати відповідь на багато практично важливих питань. Зокрема, не можна оцінити момент банкрутства, величину капіталу, якого не вистачає в цей момент, тощо.

23.1. Точні та наближені методи обчислення ймовірності банкрутства

23.2. Принципи призначення страхових премій

Сума р, за яку людина або організація купує собі страховку, називається премією. Питання про те, яку плату страхова компанія повинна призначати за те, що бере на себе той або інший ризик, дуже складне. У разі його вирішення враховується велика кількість різнорідних чинників: ймовірність подання позову, його очікувана величина і можливі флуктуації, зв'язок з іншими ризиками, які вже взяті компанією, організаційні витрати компанії на ведення справи, співвідношення між попитом і пропозицією за цим видом ризиків на ринку страхових послуг і т. ін. Проте основним звичайно є принцип еквівалентності фінансових зобов'язань страховой компанії і застрахованого. У простих видах страхування, що розглядаються нами, коли плата за страховку повністю вноситься у момент укладання договору, зобов'язання застрахованого виражаються в сплаті суми р. Зобов'язання компанії полягають в оплаті позову X. Проте ми не можемо виразити принцип еквівалентності зобов'язань рівністю р = Х, оскільки р -детермінована величина, X - випадкова.

Щоб розв'язати цю проблему, спробуємо замінити випадкову величину X и. середнім значенням ЕХ, тобто призначимо як плату за страховку сподівану величину позову.

Оцінимо тепер наслідки цього рішення для можливості виконання компанією своїх зобов'язань, тобто підрахуємо ймовірність банкрутства (у межах цієї моделі індивідуального ризику).

Нехай, як ми визначили раніше, N -кількість угод у портфелі компанії, випадкові величини ХІУ...,Х# виражають позови від цих угод, = Х, + .*. + Хы- величина сумарного позову. Оскільки ми вирішили як плату рі за і-ту угоду взяти МХпто резервний фонд компанії дорівнює

N ґ N