Розділ «25.2. Страхові угоди з виплатами наприкінці року смерті»

У попередньому розділі були розглянуті моделі страхування життя, в яких виплати проводилися у момент смерті. На практиці більшість виплат проводяться у момент смерті, отже, відсотки нараховуються до того моменту, як виплати будуть реально проведені. Ці моделі формулювалися в термінах випадкової величини Т - тривалість майбутнього життя страхувальника на момент укладення страхової угоди. Але в більшості практичних застосувань страхування життя найточнішою інформацією про розподіл Т є таблиця смертності, в якій інформація дискретна. Насправді це інформація про випадкову величину К, покрокову тривалість майбутнього життя страхувальника у момент укладення угоди страхування, яка є функцією від Т (розподіл величини К задається формулою (24.11)). У цьому підрозділі будуються моделі страхування життя, в яких величина і час виплат на випадок смерті залежать тільки від кількості повних років, прожитих страхувальником з моменту укладення угоди до моменту його смерті. Надалі будемо називати такі угоди страхування угодами з виплатами, здійснюваними наприкінці року смерті.

Ця модель формулюється в термінах покрокової тривалості майбутнього життя страхувальника. Функція виплат Ьмі функція дисконтування відповідно є величиною виплати і коефіцієнтом дисконтування, що належать до періоду від моменту здійснення виплати назад до моменту укладення угоди, якщо покрокова тривалість життя страхувальника дорівнює ку тобто він вмирає на к + 1-му році з моменту укладення страхової угоди. Поточна, на момент укладення угоди, вартість цієї страхової виплати позначається через гк+х і визначається за формулою

'м-^+іЧм- (25.12)

Якщо виходити з моменту укладення угоди, то номер страхового року, коли відбувається смерть, дорівнює 1 плюс покрокова тривалість майбутнього життя страхувальника К. Як і раніше, поточна вартість ^ = гКЛ.

Для страхування строком на п років при виплаті розміром 1 наприкінці року смерті

Г1,*. = 0,1,..., д-1 Ги*+Г-<и.....п-

ш {0,А*л *+1 [0,Кїп.

Актуарна поточна вартість для такого страхування задається формулою

=М[2]=Хом o кРх-я"к. (25.13)

к 0

Зазначимо, що символ для актуарної поточної вартості страхової виплати, здійсненої наприкінці року смерті, прийнятий у Міжнародній системі актуарних позначень, збігається з відповідним символом для випадку страхової виплати у момент смерті за винятком того, що зникає риска вгорі.

Аналогічно визначається дисперсія:

А=0

Справедливі рекурентні співвідношення для актуарних теперішніх вартостей страхування на фіксований строк

л-1 п-1

А1.п =1У+1 ■ кРх o кРх 'Ях+к =

к 0 *=1

п-1

= и o ях + о o рх£ о* ■ к_х р"х ■ дх,к = и ■ ах+ (25.14)