Розділ «27.3. Порівняння апроксимацій імовірності банкрутства страхових компаній»

Досить важливим є питання, яка з наведених оцінок дає найточніший результат для ймовірності банкрутства залежно від різних значень параметрів функції (и). Такі чисельні порівняння різних апроксимацій можна знайти, наприклад, у Дж. Гранделла і К.-О. Сегердала3, Ф. де Вільдера та інших вчених. Зрозуміло, що для порівняння необхідно вибрати такий імовірнісний розподіл виплат страхової компанії, для якого можна безпосередньо обчислити точне значення ймовірності банкрутства (и).

У прикладі, який запропоновано, прийнято такі значення параметрів: Х = 1 та ц = 1.

Для будь-якої апроксимадії д( и) та точного значення ймовірності банкрутства (и) визначимо відносну похибку

"Л"-¥*ма*'°' (27.41)

Спочатку розглянемо випадок, коли позови мають гамма-розподіл із дисперсією 100 (табл. 27.1). Покладемо значення відносної страхової надбавки 0 = 10 %. Тоді ми отримаємо щ =1, щ =101, р3 =20301 та р4 =6 110 602. Точні значення (и) для цього випадку можна знайти у праці Дж. Гранделла.

З табл. 27.1 можна побачити, що апроксимація де Вільдера майже бездоганна і значно краща, ніж інші оцінки.

Розглянемо тепер позови, які мають змішаний експонеціальний розподіл (табл. 27.2). Тоді функція розподілу позовів 2Чг) = 1-0,003 979 Зе"0'014881* - 0,107 839 ге"0'190206' --0,888 181 5е~5,5145882 Для (встановлено Н. Вікстадом1).

Цей розподіл є спробою інтерпретувати розподіл, отриманий Г. Крамером2, для страхування пожеж невиробничих об'єктів Швеції. Для цього розподілу маємо Ц|=1, р2 =43,1982, ц-з =7717,23 та ц4 =2 086 093,4. Ймовірність банкрутства (и) підраховано для даних значень початкового капіталу страхової компанії и та відносної страхової надбавки 0 Н. Вікстадом8. Значення параметрів у цьому випадку такі ж, як для табл. 27.1.

Для и = 10 жодна з апроксимацій не дала прийнятного результату. Зазначимо хіба, що оцінка Е(и) дає порівняно кращі результати для малих значень 0. Для и - 100 серед усіх апроксимацій краще працюють оцінки Беекмана -^Боверса та де Вільдера. Хоча потрібно зазначити, що точність апроксимації де Вільдера вже не така висока, як у табл. 27.2.

Таким чином, стає зрозумілим, що хоч у наших прикладах найкращою була апроксимація де Вільдера, у кожному конкретному випадку реальної страхової компанії необхідно вста

новлювати ймовірнісний розподіл, який найточніше характеризує процес виплат компанії, обчислювати для цієї компанії декілька оцінок ймовірності банкрутства залежно від її стартового капіталу, а потім, порівнюючи отримані результати, робити висновок про реальний стан страхової компанії.