Розділ 26. МОДЕЛЬ КОЛЕКТИВНОГО РИЗИКУ

26.1. Точні та наближені методи розрахунку ймовірності банкрутства.

26.2. Складені пуассонівський та від'ємний біноміальний розподіли.

Так само, як і в моделі індивідуального ризику, у моделі колективного ризику аналізується відносно короткий проміжок часу та припускається, що плата за страховку повністю надходить на початку періоду, що аналізується. Однак у моделі колективного ризику весь портфель укладених угод страхування розглядається як єдине ціле, без розрізнення окремих угод, що його складають. Отже, модель колективного ризику базується на таких спрощувальних припущеннях:

1) аналізується фіксований, відносно короткий проміжок часу (отже, можна нехтувати інфляцією і не враховувати дохід від інвестування);

2) плата за страховку повністю вноситься на початку аналізованого періоду; ніяких нових надходжень протягом цього періоду немає;

3) позови ^,У2,що надходять не пов'язуються з конкретними договорами, а розглядаються як результат сумарного ризику компанії. Тобто У( - це не позов від і-ї угоди, а і-й за черговістю позов, що реально надійшов; випадкові величини У, - незалежні і однаково розподілені;

4) як основну характеристику портфеля розглядають не кількість укладених угод ТУ, а загальну кількість позовів v за період, що аналізується. Випадкова величина v та величини Уі, У2,... - незалежні.

Численні дослідження показали, що реальні дані з практики страхування про кількість позовів за фіксований проміжок часу добре описуються за допомогою пуассонівського та від'ємного біноміального розподілу (цей факт тісно пов'язаний з моделюванням процесу позовів як пуассонівського процесу).

Друга важлива відмінність моделі колективного ризику від моделі індивідуального ризику полягає в тому, що випадкові величини У,,У2,..., які описують величини послідовних позовів, є однаково розподіленими. Це припущення означає певну рівноцінність позовів, пов'язану з тим, що позови розглядаються як наслідок загального ризику компанії, а не індивідуальних угод з їх специфічними особливостями. Крім того, важливо підкреслити, що випадкові величини У1описують тільки позови, які реально надійшли, і тому на відміну від величин X,, що фігурували у моделі індивідуального ризику, є строго додатними.

У моделі колективного ризику банкрутство визначається сумарним позовом 5 = У^+... + Уу до страхової компанії. Якщо цей сумарний позов більший, ніж резерви компанії и, то компанія не зможе виконати свої зобов'язання і стає банкрутом. Тому ймовірність банкрутства компанії визначається як

( у "

Д=Р £У, >и. (26.1)

Слід зазначити, що у межах моделі колективного ризику також не можна дати відповідь на багато практично важливих питань. Наприклад, не можна оцінити момент банкрутства, величину капіталу, якого не вистачає в цей момент, тощо.

26.1. Точні та наближені методи розрахунку ймовірності банкрутства

26.2. Складені пуассонівський та від'ємний біноміальний розподіли

Припустимо, що число позовів v має розподіл Пуассона із середнім X:

X"

пп = Р(у = п) =-е"х,п = 0,1, 2, .... Генератриса цього розлогі!

ділу дорівнює