Розділ 24. МОДЕЛІ ТРИВАЛОСТІ ЖИТТЯ

24.1. Функція дожиття .

24.2. Інтенсивність смертності.

24.3. Таблиці смертності.

24.4. Деякі аналітичні закони смертності

У розділах 24 та 25 в основному будуть розглядатися моделі страхових систем, призначених для роботи з випадковими втратами, в яких випадковість пов'язана з тим, наскільки довго житиме певна особа. Основним структурним елементом у цих розділах є випадкова величина, що має назву тривалість майбутнього життя (час дожиття) і позначається через Т(х). Знайдемо розподіл як цієї випадкової величини, так і відповідного їй віку в момент смерті X.

Покажемо, як розподіл випадкової величини "вік у момент смерті" можна представити за допомогою таблиці смертності. Ці таблиці корисні в багатьох галузях знань. Тому в кожній з цих різноманітних галузей, де використовуються таблиці смертності, були розроблені свої термінологія і позначення. Наприклад, інженери використовують таблиці смертності для вивчення надійності складних механічних і електронних систем. У біостатистиці таблиці смертності використовуються для порівняння ефективності різних методів лікування серйозних захворювань. Демографи використовують таблиці смертності як засіб проектування популяції. В актуарній математиці таблиці смертності використовуватимуться для побудови моделей

страхових систем, покликаних сприяти людям, що знаходяться в умовах невизначеності, пов'язаної з моментом настання їх смерті.

Таблиця смертності є незамінною компонентою багатьох моделей актуарної науки. Деякі дослідники вважають датою народження актуарної науки 1693 p., коли Едмунд Галлей (Е. Halley) опублікував працю "An Estimate of the Degrees of the Mortality of Mankind, Drawn from Various Tables of Births and Funerals at the City of Breslau" ("Оцінка міри смертності людства, виведена з різних таблиць народження і поховання в місті Бреславлі"). Він побудував першу таблицю смертності для м. Бреславль, використовуючи кластерний та стратифіко-ваний відбір.

24.1. Функція дожиття

24.2. Інтенсивність смертності

Використовуючи формулу (24.3), отримаємо щільність ймовірності смерті після досягнення віку х. Підставимо у формулу (24.3)2 = *+ Ах

Р(х<Хїх + Ах/Х>х) = Р*ІХ+ ^)-Р*іх)*М^. (24.12)

У цьому виразі Fx(x) = fx(x) - щільність неперервної ви-

f(x)

падкової величини X, "вік у момент смерті". Функція --

(1-.?(*)..

у формулі (24.12) може інтерпретуватися в термінах умовної щільності. Для кожного віку х вона дає значення в точці х умовної функції щільності випадкової величини X за умови дожиття до віку х і позначається через і(х). Тоді

MW-T^ff^- <2413)

l-Fx(x) s(x)