Розділ 26. МОДЕЛЬ КОЛЕКТИВНОГО РИЗИКУ

Доведення цього твердження можна знайти у праці Г.1. Фа-ліна1. Доведену властивість можна інтерпретувати в термінах моделі колективного ризику. Припустимо, що є декілька незалежних груп договорів страхування. Надходження позовів від і-ї групи за аналізований проміжок часу описується пуассо-нівською величиною з середнім Xltа величина позову, що подається, має розподіл Ft (х). Тоді, якщо об'єднати всі договори в одну велику групу, то надходження позовів від цього сумарного портфеля характеризуватиметься розподілом Пуассона з середнім Х = А,, + Х2 + а величина позову, що подається, ма-

тиме розподіл F(x), що є середнім з вагами - значенням роз-

X

поділів Ft(x).

2. Припустимо, що випадкова величина S має складений пуассонівськоє розподіл з параметрами X і F(x), Розподіл величини позову, що подається, представлений у вигляді суміші з вагами рх, р2, ... (величини pt- невід'ємні й у сумі дають 1) розподілів Ft(x):

'(*)-Јjv4(*>

Тоді S збігається за розподілом із сумою незалежних випадкових величин S,, S2, кожна з яких має складений пуас-сонівський розподіл з параметрами Xt = Xptта Ft (х), і = 1, 2, ....

Властивість 2 дає змогу розбивати портфель договорів зі складним розподілом величин позовів, що подаються, на декілька незалежних портфелів з простішими розподілами величин позовів, що подаються. Для цих простих портфелів можна підрахувати розподіл величини сумарного позову і потім за допомогою згорток визначити розподіл величини сумарного позову (а отже, і ймовірність банкрутства) для початкового портфеля.

Найефективнішим методом точного розрахунку розподілу Рп = P(S = ті) складеного пуассонівського розподілу з дискретним розподілом рпвеличини поданих позовів, є використання рекурентної формули

^=-2>Л-,. (26.9)

При А.->+со для складеного пуассонівського розподілу справедливе гауссівське наближення, тобто

, yfDS ) 72лі

Припустимо тепер, що кількість позовів v має від'ємний біноміальний розподіл з параметрами р і а, тобто (див. (22.2))

TC=P(V = H)

а(а + 1)...(а + л-1)

с>в,п = 0,1,2,

де Я = 1-р.

У цій ситуації розподіл величини сумарного позову 5 = У, +... + Уу називається складеним від'ємним біноміальним розподілом. Перетворення Лапласа величини £ можна одержати з формул (26.3)

/ _ Vх

i|/(s) = Me