Розділ 26. МОДЕЛЬ КОЛЕКТИВНОГО РИЗИКУ

М(5-Я5)а = ^МУ2 +^1-МУ-МУ2 + і^-.(МУ)3. Р Р Р

Важливо підкреслити, що (як і для складеного пуассонівського розподілу) в цій моделі сумарний позов завжди має невід'ємну асиметрію (навіть якщо індивідуальні позови мають нульову або від'ємну асиметрію).

Справедливе твердження: кожен складений від'ємний біноміальний розподіл можна розглядати як складений пуассонівський розподіл з певним чином підібраними параметрами1.

Тому складений від'ємний біноміальний розподіл має ті ж спеціальні властивості, що і складений пуассонівський розподіл. Проте, оскільки зв'язок параметрів обох видів розподілів дуже складний, ці властивості не виглядають так само природно, як і відповідні властивості складеного пуассонівського розподілу. Єдиним винятком є така рекурентна формула для розрахунку розподілу Рп сумарного позову, аналогічна формулі (26.9):

де р1 - розподіл величини позовів, що подаються.

При а -> +оо для складеного від'ємного біноміального розподілу справедливе гауссівське наближення.

Також для складеного від'ємного біноміального розподілу справедливе гамма-наближення при р -> 0:

итр(^<х) = -}:--'Г^є^г,

р->° ^Мв , 2аГ(а) і тобто граничним виступає гамма-розподДл з параметрами 0,5 і а.

Якщо 2а - ціле число, то гамма-розподіл є відомим х2*роз-поділом з 2а степенями свободи. Це можна використовувати при реальних розрахунках.

Приклад 26.2. Розглядається страхова компанія, яка займається страхуванням ремонту автомобілів. Річна кількість аварій описується від'ємним біноміальним розподілом із середнім 20 і дисперсією 100. Середня вартість ремонту автомобіля - 1500 грн. Треба оцінити величину резервного фонду компанії, достатню, щоб забезпечити ймовірність банкрутства на рівні 5 %.

Знайдемо параметри від'ємного біноміального розподілу:

Му 20 1 р-Му -,а = --

2)у 100 М5 = Му o МУ

^-5 4 ~5,

Тоді Р(8>и) = Р

(2а5 2аиЛ

5 д

20 1500 = ЗО 000 грн.

РІ