Розділ 26. МОДЕЛЬ КОЛЕКТИВНОГО РИЗИКУ

*М"ІУ ~ек=е^ ІҐо пі

Розподіл величини сумарного позову 5 = У1 +... + Уу називається складеним пуассонівським розподілом.

Перетворення Лапласа величини 3 можна одержати з (26.3) при п(г) = ехр(Хг-Х):

і|/(в) = М^ = еХф(,)- (26.7)

де ф(") = Ме"'у - перетворення Лапласа величини поданого індивідуального позову. Таким чином, невід'ємна випадкова величина 5 має складений пуассонівськоє розподіл, якщо її перетворення Лапласа у (в) представлене у вигляді (26.7), де ф(а) - перетворення Лапласа деякої невід'ємної випадкової величини У.

Параметр X початкового пуассонівського розподілу пп, і розподіл Р(х) індивідуального позову У називаються параметрами складеного пуассонівського розподілу.

Якщо індивідуальні позови У( мають дискретний розподіл рп з генератрисою g(z)9 то складений пуассонівський розподіл також є дискретним і його генератриса Є (з) визначається згідно з (26.4) як

G(z) = Mzs=ех*(а) (26.8)

Для математичного сподівання та дисперсії складеного пуассонівського розподілу із загальних формул (26.5), (26.6) і формул Mv = Dv = X для пуассонівського розподілу маємо

MS = X-MY, DS = XMY2. Зазначимо, крім того, наступний результат для третього центрального моменту M(S~MS) = X-MY*.

Величина -L___?^l_ є кількісною мірою асиметрії. Якщо

вона дорівнює нулю, то розподіл розглядають як симетричний, якщо вона від'ємна (додатна), то щільність величини S має скіс вліво (вправо) щодо центру. Додатна симетрія означає відносно значну ймовірність великих значень позову.

Оскільки МУ8>0 для додатних випадкових величин, то сумарний позов у моделі складеного пуассонівського розподілу завжди має позитивну асиметрію (навіть якщо індивідуальні позови мають нульову або від'ємну асиметрію).

Слід зазначити деякі важливі властивості складеного пуассонівського розподілу:

1. Припустимо, що випадкові величини SltS2- незалежні й мають складений пуассонівський розподіл з параметрами Xl.Fl (x);X2,F2(x); ... відповідно. Припустимо, що ряд

^ Xt<+оо - збігається; ця умова заздалегідь виконана, якщо

і=і

число доданків скінченне. Тоді їх сума S = St+S2+... також має складений пуассонівськський розподіл і його параметри XtF(x) задаються формулами

х-£х,.*<*)-І£*,<*)і

І"1 1=1 л.