Розділ «25.2. Страхові угоди з виплатами наприкінці року смерті»

*=і

+ и■ рх£o ,Р"і o Ях+иі = "-Я* + оo Ржo А^,^.

1=0

Щоб рівність (25.14) виконувалася при /1 = 1, покладемо

А* бі = о Длявсіхх>

Модель для угоди безстрокового страхування, укладеного з особою (де), можна побудувати, спрямувавши п до нескінченності в моделі страхування строком на п років. Для актуарної поточної вартості ми отримаємо формулу

А,=2У"*Р. (26.15)

* 0

Домножуючи обидві частини формули (25.15) на іх, отримаємо иж=£"**Ч... (2б.іб)

Формула (25.16) означає рівність у момент укладання угоди страхування виразів для суми цих актуарних поточних вартостей для Іх осіб, застрахованих у віці х, і для величини, на яку зменшується фонд в результаті очікуваних смертей Іх осіб.

ос

Вираз у^о**1**^ відповідає тій частині фонду у момент укла-

к=г

дення угоди страхування, яка разом із відсотками, отриманими за передбачуваної відсоткової ставки, забезпечить страхові виплати у зв'язку з очікуваними смертями після г-го страхового року.

Аналогічно до рекурентної формулі (25.14) справедлива рекурентна формула для актуарної поточної вартості безстрокового страхування на випадок смерті:

АХ=>'ЯХ + >*Ах.грж. (25.17)

Аналіз співвідношення (25.17) сприяє розумінню природи величини Ах. Після заміни рх на -цх і помноження обох частин на ( + ї)Іх співвідношення (25.17) можна переписати у вигляді

К (1+04. = КК.х +4, (1- А",), (25.18)

де о =або іЛ-1 -ефективна річна відсоткова ставка. 1+і о

Для сукупності випадкового дожиття це співвідношення має таку інтерпретацію. Разом з відсотками за перший рік величина Ах, помножена на Іх, середня кількість осіб, що дожили до віку х, дає величину АхЛ, помножену на Іх, і, крім того, величину 1-А^,, помножену на число спосіб, смерть яких очікується протягом цього року. Така величина для кожної очікуваної смерті о;,(1-Ал+1) називається річною вартістю страхування.