Розділ «25.2. Страхові угоди з виплатами наприкінці року смерті»

Ділячи на Іхі потім віднімаючи Ах+9я(1-Де+і) з обох частин формули (25.18), отримаємо

А"1-А. = іАх-дх(1-А"і). (25.19)

Інакше кажучи, різниця між актуарними поточними вартостями для осіб віку х років і віку х + 1 років дорівнює відсоткам, нарахованим на актуарну поточну вартість у віці х за вирахуванням річної вартості страхування в цей рік.

Інший вираз для Ах можна отримати з формули (25.17), замінивши рхна 1-<7*, помноживши обидві частини на о* і перегрупувавши її члени. В результаті ми отримуємо о"ч" -иМ, = -о*ч(1-а*і). або Ді>*л,=-о",ї,(1-А"І).

Підсумовуючи від х = удосо, отримаємо

-и^-ІУ^Ді-А,.,)

і, таким чином, А^ " £их+І ^дДі-Ая+1). *=]/

Цей вираз показує, що актуарна поточна вартість для віку у дорівнює сумі поточних вартостей у момент у річних вартостей страхування за весь час майбутнього життя страхувальника.

Змішане страхування строком на п років з виплатою розміром 1 наприкінці року смерті є комбінацією розглянутого в цьому розділі страхування строком на п років і страхування на дожиття строком на п років з виплатою розміром 1, про що йшлося в попередньому підрозділі. Такому договору відповідають функції

[о**Л=0,1,...,л-1, ЬкЛ =1,^ = 0,1..... IV, =^

*■=(>, 1.....П-1,

[ия,1Г = л, .... Актуарна поточна вартість дорівнює

А,Я = ЇУ+1 o шР. o<?,♦. + и" ■ (25-20)

Безстрокове страхування на випадок смерті з виплатою, яка щорічно зростає, коли виплачується к + 1 одиниць наприкінці к + 1-го року дії угоди, якщо страхувальник помре в цьому страховому році, має такі функції виплат, дисконтування і випадкову величину поточної вартості:

Ьк^ =*+1, Л = 0,1, 2, ...,ил+1 =о*+1, /е = 0,1, 2, 2 = (ІГ+1)и*+К=0,1, 2,....

Його актуарна поточна вартість позначається через ЦА)Х.

Страхування строком на п років з виплатою, яка щорічно зменшується, протягом п -річного періоду передбачає виплату наприкінці року смерті, п-к де к - кількість повних років, прожитих страхувальником з моменту укладення угоди. Відповідні функції мають вигляд

{ті-к,к=0,1,. , о,*:","+і,.., ^=^.^0,1,2,...,

и",^г = П, 71 + 1, ...

Актуарна поточна вартість для цього страхування позначається через (2)А)^.