Розділ 27. ДИНАМІЧНА МОДЕЛЬ БАНКРУТСТВА

Ф(0)=1-(^1 Оскільки ф(0)>0, то

Зазначимо, що ^=(~~^^) =с~(^/ Випадковий процес

5, є однорідним процесом з незалежними приростами і

= Хи*. Тому відповідно до підсиленого закону великих чиєї

сел з імовірністю одиниця - -> А.ц. Для застосування закону

великих чисел досить зауважити, що за будь-якого ї і будь-якого п величину 5, можна представити у вигляді суми п незалежних однаково розподілених випадкових величин:

Якщо с < А.ц, то процес (її з ймовірністю одиниця прямує до -оо і тому за будь-якого и з ймовірністю одиниця відбувається банкрутство. У цьому випадку (р(и) = 0 (рівняння (27.10) не має обмеженого розв'язку). У випадку с = Хц теж у(и) = 0 і рівняння (27.10) має лише нульовий розв'язок. Надалі ми будемо припускати, що с > А.Ц,

Сформулюємо важливий результат, що випливає з попередніх теорем, який ми будемо використовувати в подальших дослідженнях.

Теорема 27.4і. Якщо виплати є експоненціально розподіленими випадковими величинами з математичним сподіванням и, то ймовірність банкрутства Ці(и) за початкового капіталу и дорівнює

Г х

М/(и)=ГГеЄ<+>^ ЯКЩ° С>^' (27.12)

1, якщо с й

За допомогою перетворення Лапласа функції ср(м), заданої рівністю (27.10), можна отримати явний вигляд цієї функції у випадку, якщо сума виплат страхової компанії є константою.

Теорема 27.5і. Якщо в моменти часу х1,х2,...,тп,... стрибків процесу Пуассона виплачується одна сума а і ока, то ймовірність небанкрутства за початкового капіталу и дорівнює

= (і-Їі)у±-(АV (Ц _ ка)1 ехр(-(и - каі (27.13) V с ;£ок\ с) [с )

х + х Г*. х*0, ДЄХ+ 2 І0. *<0.

2 [0, *<0.

Асимптотична поведінка ймовірності банкрутства за великих обсягів початкового капіталу

Оцінка для ймовірності банкрутства в класичній моделі ризику