Розділ 27. ДИНАМІЧНА МОДЕЛЬ БАНКРУТСТВА

Ймовірність банкрутства в класичній моделі ризику

Природно поставити питання про ймовірність банкрутства страхової компанії, яка має початковий капітал u, на інтервалі часу [0, + ао). Позначимо цю ймовірність через \і(и). Очевидно, що ф(и) = Р < 0 при деякому t > О}. Будемо розглядати таку функцію

(p(u) = l-v|/(w), (27.8)

яка виражає ймовірність того, що на інтервалі часу [0,+ оо) банкрутство не відбувається. Наведемо без доведення наступну теорему.

Теорема 27.2 і. Функція (р(и) диференційована і задовольняє інтегродиференціальне рівняння

X Х"е

q>'(u)=-<p(u)- L(u-z)dF(z). (27.9)

с сJ

о

Зауважимо, що рівняння (27.9) можна отримати і обходячи припущення про диференційованість функції (p(u). Також можна встановити інтегральне рівняння для (p(u).

Теорема 27.32. Функція ф(и) задовольняє інтегральне рівняння - и

Ф(и) = ф(0) + - Гф(и - г)(1 - F{z))dz. (27.10)

сї

Функція ф(ц) обмежена (це ймовірність, і тому 0 <> ф(ц) й 1) і монотонно не спадає (у разі збільшення початкового капіталу ймовірністьнебанкрутствазбільшується). Томуіснує lim ф(и) = = ф(+ао). Переходячи до границі при и->-ко в обох частинах рівності (27.10), будемо мати

ф(+оо) = ф(0)+-цф(+оо), (27.11)

с

-не

ДЄ |і= (1-F{z))dz.

Звідси ф(0) = Гі--^ф(+оо).

Якщо є ненульовий розв'язок інтегрального рівняння (27.10), то природно вважати, спираючись на теоретико-ймовірнісний зміст ф(и), що ф(+оо) = 1 (при нескінченному початковому капіталі банкрутство не відбудеться). Таким чином,