Розділ 24. МОДЕЛІ ТРИВАЛОСТІ ЖИТТЯ

З властивостей функцій fx(x) і 1-F(x) маємо, що ц(д:)>0.

У актуарній науці і в демографії и(х) називається інтенсивністю смертності. У теорії надійності, яка досліджує ймовірності безвідмовної роботи механізмів і систем, ця величина називається інтенсивністю відмов.

Як і функція дожиття, інтенсивність смертності може використовуватися для визначення розподілу випадкової величини X. З формули (24.13) для будь-якого додатного у маємо рівність для диференціалів

-u(y)dy = dlns(y). Інтегруючи цей вираз від х до х + п, одержимо

Х+П / v

f / j і s(x + n) , - І u(y)dy = ln--L = nPx.

Тоді

x+n

вр, = ехр{- \x(y)dy). (24.14)

x

Іноді зручно переписати формулу (24.14), зробивши заміну t = у - х:

п

прх =ехр{- ji(x+t)dt}. (24.16)

о

Зокрема ми змінимо позначення з тим, щоб вони відповідали використаним у формулі (24.6), поклавши вік осіб, що вже жили, таким, що дорівнює 0, і позначивши вік дожиття через х. Тоді одержимо

X

хРо = s(x) = ехр{- Ju(r)d*}. (24.16)

о

Крім того,

Рх(*) = 1 - а(х) = 1 - ехр{- |ц(г)Л} (24.17)