Розділ «Частина IX. АКТУАРНІ РОЗРАХУНКИ»

Аналогічно через умовні ймовірності можна підрахувати розподіл X через розподіл У та розподіл індикатора /. Очевидно, що Р(Х = 0) = Р(І = 0). Далі для Ь,>0 Р(Х = Ь,)= = Р(У = о, / / = 1) o Р(І = 1). Оскільки розподіл позову, що був дійсно поданий, завжди розглядається за умови, що 1=1, можна записати:

Р(Х = ЬІ) = Р(У = ЬІ)-Р(/ = 1).

Для прикладу 21.1 Р(/ = 1) = з1 + <?2 =0,014, Р(7 = 0) = = 1-0,014 = 0,986.

Р(У = 10000)=^і = 0,286; Р(У = 5000) = ^^ = 0,714. 4 ' 0,014 4 ' 0,014

Таким чином для дослідження розподілу індивідуального позову можна задавати розподіл величини позову У, що був дійсно поданий, та розподіл індикатора цієї страхової події.

У деяких видах страхування одна угода може призвести до декількох позовів протягом своєї дії. Типовим прикладом є страхування автомобілів. У цьому випадку природно записати величину X у вигляді суми

Х = У1+У2+... + У>,, де випадкова величина v описує кількість позовів, породжених цією угодою за час її дії, а випадкові величини У, описують величини позовів, що були дійсно подані.

Зазвичай припускають, що в останній моделі випадкові величини У,,У2,... та v є незалежними, хоча більш детальний аналіз низки випадків свідчить про залежність. Наприклад, після ремонту автомобіль має більше шансів потрапити в аварію, а її наслідки можуть бути тяжчими.

Якщо випадкові величини У^У^,... та v - незалежні, а У^,У2,... - однаково розподілені, то

МХ = МуМУ1,2)Х = ЛГуі)У1+і)у(МУ1)2. (21.1) Формули (21.1) буде доведено у розділі 26 (формули (26.5) та (26.6)). З цих формул можна отримати корисні результати для структурованих моделей X = / o У:

лfx=:ЛfУ-p(^=l),^)x=I>yop(J=l)+(мy1)2op(^=l)-p(^=o).

Опис індивідуального позову за допомогою структурованих моделей зручний тим, що дає змогу розділити вплив різних факторів на величину позову від цієї угоди. Як правило, на частоту настання страхових випадків, що описується величинами І та v, впливають одні фактори, а на величину позову, що був дійсно поданий і описується змінною У, зовсім інші.

Можливі й інші форми структурування величини позову, пов'язаного з однією угодою страхування. Наприклад, величину позову X у разі автомобільної катастрофи можна представити у вигляді Х = І'(ЬЬ1+62), де І - індикатор події "відбулась катастрофа", Ь - кількості пасажирів у автомобілі, 6 - величина страхової виплати на одну людину, Ь - величина страхової виплати за автомобіль.

21.3. Неперервні моделі індивідуальних позовів

21.4. Рандомізація розподілів

Ідея рандомізації винятково важлива при описі індивідуальних позовів з позиції портфеля як єдиного цілого. Розглянемо, наприклад, портфель з N угод страхування життя на один рік. У цьому випадку індивідуальний позов X,, пов'язаний з і-ю угодою, набуває два значення: 0 та 1 із ймовірностями р і о/ відповідно (тут ми приймаємо величину страхової виплати як одиницю виміру грошових сум). Якщо припустити, що параметр q цього розподілу однаковий для всіх угод, це буде означати повну статистичну однорідність портфеля. Однак насправді ймовірність позову д залежить від віку х застрахованого д = дх, і тому змінюється від позову до позову. Розподілимо портфель на групи угод відповідно до віку застрахованого; нехай N -

. . . . Ях

кількість угод, власники яких мають вік х років, ах=_^" -

частка осіб у віці х років серед клієнтів компанії.

Якщо ми цікавимось індивідуальними позовами з позицій портфеля як єдиного цілого, то це означає, що ми розглядаємо навмання обрану угоду. Оскільки угода вибирається випадково, ймовірність позову q від цієї угоди також є випадковою величиною. Ця величина набуває конкретного значення q , якщо власник обраної угоди має вік х років; ймовірність цієї події дорівнює частці ах осіб у віці х років серед клієнтів компанії.