Розділ «27.5. Обчислення оцінок імовірностей банкрутства страхових компаній України»

Розглянемо тепер випадок, коли виплати страхової компанії розподілені не за експоненціальним розподілом. Одним із найбільш прийнятних у цій ситуації є гамма-розподіл, оскільки він досить широко вживається в актуарній математиці - змінюючи його параметри, можна змоделювати досить різноманітну поведінку випадкової величини.

Функція щільності гамма-розподілу має вигляд

{ 1 --_і_ха~10 Р х>о

Я*,<х,Р)= раГ(а) ' 9 (27.43)

0, х < 0,

причому математичне сподівання випадкової величини що має гамма-розподіл (27.43), М£ = аР, а її дисперсія /)£ = ар .

Зауважимо, що при а = 1 розподіл (27.43) є експоненціальним із параметром -, а при Р = 1 розподіл (27.43) називається

стандартним гамма-розподілом. Функція щільності стандартного гамма-розподілу має вигляд

/(*,<х) = < Да) '* ' (27.44)

0,х<0.

У цьому випадку М£ = - а.

Як було показано у підрозділі 27.1, коли виплати страхової компанії мають не експоненціальний розподіл, практично неможливо вказати точну формулу для обчислення ймовірності банкрутства компанії. Тому в цьому випадку було підраховано шість апроксимацій оцінки ймовірності банкрутства: Беекма-на - Боверса, де Вільдера, дифузійну, експоненціальну, Лундберга та Рені. Алгоритм підрахунку цих апроксимацій та формули (27.29), (27.34), (27.36), (27.38), (27.39), (27.40), за якими вони визначаються, наведено у підрозділі 27.2.

У табл. 27.6-27.9 наведено значення всіх шести апроксимацій імовірності банкрутства для найбільших страхових компаній України. В цьому випадку вважається, що страхові виплати цих компаній мають стандартний гамма-розподіл (див. формулу (27.44)). Відносна страхова надбавка тут дорівнює ЗО %, а розмір середніх страхових виплат - 50 000, 75 000, 100 000 та 200 000 грн. Як було показано вище, стандартний гамма-розподіл має лише один параметр а, що дорівнює розміру середніх виплат, тому даних про відносну страхову надбавку та середні виплати досить, щоб обчислити всі шість апроксимацій. Крім того, в кожній таблиці вказано середнє значення показника ймовірності банкрутства за шістьма апроксимаціями. Параметри гамма-розподДлу можна визначити за формулами (Ш)2 т

а=імд_ р= _^ (27.45)

Аналізуючи отримані результати, можна зазначити, що в усіх випадках значення шести апроксимацій дають більш-менш однаковий результат, якщо ймовірність банкрутства є порівняно високою (близькою до 5-7 %, табл. 7.9). У випадку малих ймовірностей банкрутства (великих розмірів стартового капіталу) дифузійна апроксимація та апроксимація Лундберга дають дуже низьку ймовірність банкрутства, і на них не варто орієнтуватися. Апроксимація Беекмана - Боверса майже в усіх випадках дає найбільшу ймовірність банкрутства, а апроксимація Лундберга - найменшу ймовірність.

Як було показано у підрозділі 27.3, апроксимація де Віль-дера в більшості випадків дає найточніший результат. Тому під час використання таблиць 27.6-27.9 можна брати до уваги або апроксимацію де Вільдера, або усереднене значення за всіма шістьма апроксимаціями.

Якщо реальні дані конкретної страхової компанії про відносну страхову надбавку, середні виплати та їх дисперсію відрізняються від наведених у таблиці, досить ввести ці дані до таблиці з відповідним розподілом замість стандартних даних, щоб одразу отримати результат.

Нарешті, зауважимо, якщо при визначенні ймовірностей банкрутства виникне потреба використати деяку іншу функцію розподілу страхових виплат (не показниковий і не гамма-

Продовження табл. 27.6