Розділ 22. МОДЕЛІ ПРОЦЕСУ ПОЗОВІВ

22.1. Статична модель для кількості позовів за фіксований проміжок часу.

22.2. Динамічна модель для кількості позовів за фіксований проміжок часу.

22.3. Від'ємний біноміальний розподіл.

Нещасні випадки, які призводять до подання позовів, відбуваються у непередбачувані моменти часу. Невизначеність цих моментів є такою ж важливою компонентою ризику в діяльності компанії, як і невизначеність величин самих позовів. Одне з головних припущень теорії ризику полягає у тому, що процес настання страхових випадків та величини пов'язаних з цим позовів можуть і повинні досліджуватись окремо. Наприклад, частота автомобільних аварій серед власників страхових угод з деякою компанією залежить від вікової структури клієнтів компанії (зрозуміло, що ймовірність потрапити у аварію велика для молодих людей та людей похилого віку), погоди у цьому регіоні у проміжок часу, що досліджується, тощо. Однак ці фактори не впливають на розмір страхової виплати на ремонт автомобіля після аварії; ця сума передусім визначається маркою автомобіля.

У найбільш загальному випадку процес позовів - це довільний точковий процес, тобто довільна випадкова послідовність точок Ті9Т2,... на вісі часу. Однак реальні статистичні дані вказують на те, що цей процес має певні властивості й може бути досить точно описаний за допомогою відносно простих моделей. Найбільш важливою є пуассонівська модель, у якій припускають, що інтервали між позовами T2-TltT3-T2>... - незалежні та однаково розподілені за експоненціальним законом з деяким параметром X (іншими словами, процес позовів є пу-ассонівським процесом з інтенсивністю X). Крім того, нерідко нас цікавить лише загальна кількість позовів v(r) за деякий проміжок часу тривалістю t. Імовірнісні характеристики величини v(f) тісно пов'язані з характеристиками процесу позовів Т,, jT2,... та, якщо для цього процесу придатна певна проста модель, можуть бути описані в дуже простих термінах. Наприклад, якщо процес є пуассонівським із інтенсивністю Ху то величина v(r) має пуассонівський розподіл із параметром Xt.

22.1. Статична модель для кількості позовів за фіксований проміжок часу

22.2. Динамічна модель для кількості позовів за фіксований проміжок часу

Модель, описана вище, є статичною, тобто не містить сценарію надходження позовів у часі. Вона фіксує лише взаємодію індивідуальних угод. У динамічній моделі фіксується взаємодія кількості позовів, що надійшли за різні проміжки часу, які не перетинаються, та ігнорується структура портфеля і взаємодія індивідуальних угод. Тому вона є прийнятною і для опису процесу позовів від окремої угоди, якщо угода за час своєї дії може призвести до декількох позовів (як це буває, наприклад, при страхуванні автомобілів).

Позначимо - кількість позовів, що надійшли за час (0; і)* Через цю величину можна виразити і більш складну величину у(і1( £2), яка дорівнює кількості позовів, що надійшли за проміжок часу (*х; і2). Зробимо такі припущення.

1. Процес надходження позовів є стаціонарним, тобто розподіл випадкової величини у(і19і2) залежить від довжини і3 проміжку (£(; і2), що розглядається, і не залежить від його розташування на часовій вісі. Іншими словами, розподіл кількості позовів, що надійшли за будь-який проміжок (т;т + і), залежить тільки від і; позначимо Рп (і) ~ Р(у(т, т + г) = л).

2. Процес є ординарним у тому сенсі, що надходження двох або більше позовів за малий проміжок часу Ді практично неможливе. Це твердження можна виразити рівністю P(v(t, т+Лг)^2) = о(Лг).

3. Процес надходження позовів не має післядії, тобто величини v(t,, t2), v(f2, t9)t...,v(tn_l9 tn) tx <t2<...<tn є незалежними. Ці величини виражають кількість позовів, які надійшли за проміжки часу, що не перетинаються.

Наведені припущення є досить природними як при описі надходження позовів від усього портфеля угод, так і при описі надходження позовів від індивідуальної угоди у випадку, коли угода за час своєї дії може призвести до декількох позовів.

Описана вище динамічна модель процесу позовів з необхід-

(XtY

ністю призводить до того, що для деякого X > 0 Р (г)=-е~и,

.... пі

тобто розподіл кількості позовів, що надійшли за фіксований

проміжок часу, обов'язково є пуассонівським (доведення цього твердження можна знайти у праці Г.І. Фаліна1). Параметр X називається інтенсивністю процеса v(r) і знаходиться як середнє число позовів в одиницю часу.