Розділ «4.2.2. Логіка предикатів»

3. Р(х) - формула, що виражає властивість (одномісний предикат).

4. R(x, у) - формула, яка виражає двомісний предикат.

5. R(x, у, г) - формула, що виражає тримісний предикат.

6. Якщо Р - формула і х - предметна змінна, то V* Р(х) і ЗхР(х) є формулами.

7. V* Р(х) - формула, яка виражає сферу дії квантора загальності.

8. Зх Р(х) - формула, що виражає сферу дії квантора існування.

Жодних інших формул у логіці предикатів немає. Формули виду Р, F, Q - прості (елементарні), а формули виду V* Р(х), Vx Р(х, yt z), V* Зу (Р(х, у) - складні.

Далі будують формули, що визначають сферу дії квантора.

Сфера дії квантора (ОДК) означає вираз, до якого належить квантор. ОДК обмежують дужками зліва і справа від виразу. Ліва дужка означає початок сфери дії, а права дужка - закінчення. У межах ОДК виокремлюють зв'язану та вільну змінні. Змінну, що слідує безпосередньо після квантора, називають підкванторною змінною, а формула, до якої належить квантор, - підкванторною формулою, або сферою дії квантора. Зв'язана змінна - змінна, яка входить до сфери дії кванторів загальності V чи існування З або обох відразу. Наприклад, у формулах VxP(x), ЗхР(х) зв'язаною змінною є х.

Вільна змінна входить до певної формули, але не входить до сфери дії кванторів загальності V чи існування 3 на відміну від зв'язаної змінної. Так, у формулі Vx(P(x)) -> Q(x) - змінна х зв'язана так само, як у формулі Vx(P(x)), але вільна у виразі Q{x).

У логіці предикатів квантор загальності трактують як узагальнення кон'юнкції, а квантор існування - як узагальнення диз'юнкції, якщо множинність М значень змінної х є скінченною, тобто вона складається зі скінченної кількості предметів. Наприклад, М = (xlt xi¿, х3, х4) записують: 1)як кон'юнкцію одиничних висловлювань Р(хх) а Р(хг) лР(х3) а Р(х4), що означає: формула виду Vx(P(x)) еквівалентна формулі P(xt) лР(х2) а Р(х3) а Р(х4); 2) як диз'юнкцію одиничних висловлювань Р(х,) v Р(х2) v Р(х9) v Р(х4), що означає: формула виду Зх(Р(х)) - еквівалентна формулі Р(х,) v Р(х2) V Р(х3) V Р(х ).

Якщо множинність М значень змінної х є нескінченною М = (Xj, х2, х3,... хп)у то квантори загальності й існування виконують роль "нескінченних" кон'юнкцій P(xt) а Р(х2) а Р(х3) а а Р(хн) а... або "нескінченних" диз'юнкцій Р(х,) V Р(х2) V V Р(х8) V Р(хя) V...

Квантифікація (лат. quantum - скільки; facio - роблю) - визначення обсягу суб'єкта та предиката в структурі висловлювання за допомогою кванторних термінів - "усі" ("будь-який", "кожний") та "деякі"; логічна операція, за допомогою якої визначають сферу дії кванторів. Це перехід від формули виду Р(х) до формули виду Vx(P(x)) або Зх(Р(х)), унаслідок чого змінна х у формулі Р(х) перестає бути просто символом, а виражає певну властивість, притаманну класові А. Змінну х у формулі Р(х) називають вільною змінною, а після квантифікації - зв'язаною змінною, тобто у формулах Vx(P(x)) і Зх(Р(х)) змінна х стає зв'язаною.

Квантифікація висловлювань, що містять відношення (/і-міс-ні предикати), набувають такого вигляду: Р(х, у) - двомісний предикат, визначений на множинності М.

Квантор загальності та квантор існування можна використати і для змінної ху і для змінної у. Змінна, до якої використано квантор, стає зв'язаною, а друга змінна - - вільною.

За допомогою квантифікації (використання квантора для однієї зі змінних) двомісний предикат можна перетворити на одномісний, а тримісний - в двомісний і под.

Значення істинності висловлювань з кванторами загальності й існування.

Логіка предикатів є двозначною за кількістю значень істинності, тому висловлюванням із кванторами загальності й існування надають два значення істинності - "і", "х".

Для визначення істинності висловлювання з кванторами загальності або існування задають множину М з певною кількістю елементів, для якої предикат є істинним. Значення істинності визначають за допомогою таблиці істинності.

Таблиця істинності для множини М зі скінченною кількістю елементів з двомісним предикатом (х, у)'. М = (х., х2, х3, х4)