Розділ «4.2.2. Логіка предикатів»

- символи, котрі позначають пропозиційні зв'язки (логічні сполучники, логічні постійні): кон'юнкція л, диз'юнкція v, імплікація ->, еквівалентність =, заперечення ->;

- технічні символи: ( - ліва дужка; ) - права дужка.

Визначимо смисл термінів, що створюють специфіку логіки предикатів, і символічно зобразимо їх штучною мовою.

Терм - будь-яка предметна константа чи предметна змінна.

Предикат (предикатор) (лат. - термін, що в традиційній логіці означає властивість, притаманну суб'єктові 5. Позначають символом Р. Зв'язок суб'єкта з предикатом виражається формулою 5 є Р.

У логіці предикатів термін "предикат" двоякий за смислом: 1. Властивість. 2. Відношення.

1. Властивість (якість, ознака, характерна особливість, атрибут) - все, що притаманне предметам, явищам, процесам об'єктивного світу, подіям і відбувається у світі як їхня сутнісна та специфічна особливість. Позначають терміном "одномісний предикат".

Одномісний предикат - логічна функція висловлювання, що виражає властивість. Відношення між об'єктом і його властивостями називають відношенням предикації, яке визначають через поняття "одномісна про позицій на функція", "одномісний предикат". Мовою логіки предикатів це означає встановлення відношення між терміном, що позначає емпіричний об'єкт, і терміном, що позначає абстрактний об'єкт, який виражає властивість Р, притаманну емпіричному об'єктові. Термін "емпіричний об'єкт" визначають як предметний (індивідний) концепт, термін "абстрактний об'єкт" - як предикатний концепт, а відношення між ними - як двомісне відношення у структурі певного висловлювання. Формальний вираз такого відношення "х <= X", де "я" - предметна змінна для термінів, що позначають емпіричний об'єкт; "X" - предикатна змінна для термінів, що позначають абстрактний об'єкт; <= - символ предикації. Приклад такого двомісного відношення - висловлювання "Україна є республікою", де "Україна" - термін, що позначає емпіричний об'єкт, тобто Українську державу, а "республіка" - - термін, що позначає абстрактний об'єкт, тобто властивість, притаманну Українській державі - "бути республікою" (за формою державного правління). Послідовна формалізація цього висловлювання мовою логіки предикатів така: - Р,(х) - одномісна пропозиційна функція; х <=. Р(Х), де "дг" - символ для позначення предметного (індивідного) концепта "Україна" (Українська держава); <= - символ предикації; Р{Х) - символ для позначення предикатного концепта (властивості) "республіка".

Відношення (лат. relatio - відношення) - співвіднесення; взаємозалежність двох і більше предметів у їх взаємозв'язку; відношення між двома і більше предметами (об'єктами міркувань. Позначається терміном "багатомісний предикат" (л-міс-ний предикат).

Багатомісний предикат - логічна функція висловлювання, що виражає відношення між двома і більше емпіричними чи абстрактними об'єктами.

Для визначення відношень вводять непорожній клас або множину М, у межах якої задають відношення R між її елементами. Залежно від відокремленої множини М відношення R виражають словами "рівність", "нерівність", "подібність", "дружба", "кохання", "рідня", "сучасник" тощо. Розрізняють бінарне, тернарне та інші види відношень.

Бінарне відношення - множина М, елементами якої є впорядковані пари (х, у), що вказують на відношення між двома предметами, пов'язаними цим відношенням. Символічно Щх, у). Наприклад, у системі відношень між натуральними числами бінарні відношення виражають словами "рівності", "більше", "менше", "ділиться" і под.("Число 5 менше числа 9"). У системі відношень між родичами бінарні відношення виражаються словами "мати", "батько", "син", "брат" та ін. ("Павло - брат Петра", "Ігор - син Василя"). У системі правовідношень, що регулюються, скажімо, Цивільним кодексом, використовують слова, "позивач", "відповідач" і под. ("Особа х позивач до особи у").

Формальний вираз таких висловлювань - xRy, де х, у - предмети, про які йдеться у міркуваннях, а/2 - символ, що позначає відношення (чит.: х перебуває у відношенні R до у).

Висловлювання, яке містить бінарне відношення (ті = 2-міс-ний предикат), має властивості рефлексивності, нерефлексивності, симетричності, несиметричності, транзитивності, еквівалентності.

Властивість рефлексивності - така властивість відношення R між предметами х та у в множині М, коли кожен з них перебуває у відношенні R до самого себе. Формально: хВу -> -> ((xRx) А (yRy))t де -> - символ слідування (імплікації); л - символ кон'юнкції.

Властивість рефлексивності притаманна відношенню рівності (наприклад, для множини предметів певного виду кожен предмет рівний самому собі), конгруентності (для множини геометричних фігур) та ін.

Властивість нерефлексивності - така властивість відношення R між предметами х та у для множини Му коли кожному з них не притаманна властивість перебувати у відношенні до самого себе. Формально: xRy -> ((-> хЯ*) л (-o yRy)).

Властивість нерефлексивності притаманна відношенню "бути елементом множини", "нерівності", "бути причиною" (х не може бути причиною самої себе) та ін.

Властивість симетричності - така властивість відношення R між предметами х та у для множини А/, коли наявність відношення xRy зумовлює відношення yRx. Формально: (xRy) -> ~> №х).

Властивість симетричності притаманна відношенню рівності, подібності, родинності, дружби тощо. Наприклад: Якщо "я - брат у, то у - брат х".