Розділ «4.2.2. Логіка предикатів»

Властивість антисиметричності (несиметричності) - така властивість відношення R між предметами х та у множині М, коли наявність відношення xRy не зумовлює зворотного відношення уВх. Формально: (хЯу) -" -> (xRy) А -* (уЯх).

Властивість антисиметричності (несиметричності) притаманна відношенню, що виражають словами "бути більше, "бути менше", "бути краще", "бути причиною", "бути мотивом" та ін. Наприклад: "х - причина дії у" (якщо х причина у9 то у не може бути причиною х); "х - мотив дії у" ("Заздрість - мотив скоєння злочину особою І/").

Властивість транзитивності (лат. - перехід) така властивість відношення R між х, у, г для множини М, коли з того, що х перебуває у відношенні Я з у, а у - у відношенні Я з 2, то випливає, що х перебуває у відношенні R з г.

Формально: ((xRy) л (yRz)) -> (xRz), де л - символ кон'юнкції, -> - символ слідування.

Властивість транзитивності притаманна відношенням R, що виражають словами "рівність", "подібність", "паралельність" і под. Наприклад, якщо * рівне і/, а у рівне г, то х рівне z.

Якщо бінарне відношення водночас має властивості рефлексивності, симетричності й транзитивності, то воно набуває властивості еквівалентності (лат. aequalis - рівний, valentis - той, що має; рівнозначність, рівносильність).

Властивість еквівалентності притаманна відношенню R і виражається словами "рівність", "подібність", "конгруентність", "бути ровесниками", "бути водночас сучасниками події П" та ін.

Тернарне відношення - множинна М, елементами якої є впорядковані трійки (х, у, z), що виражають відношення між трьома предметами, пов'язаними між собою системою відношень. Визначають як тримісний предикат (п = 3), має символічний вираз R(x, у, z).

Тернарні відношення виражають словами "знаходиться між", "знаходиться далі від... ніж"; "бути ближче... ніж" та ін. Наприклад: "Земля знаходиться між Венерою та Марсом", "Планета Марс знаходиться далі від Сонця, ніж планета Земля".

Визначення сфери дії предиката визначають квантором.

Квантор (лат. quantum - скільки, кількість) - слово, яке називає, якій кількості предметів з певного класу (множинності), або класу загалом притаманна властивість Р. Природною мовою квантор виражають словами "всі", "кожен", "для всіх, за винятком", "деякі", "лише один", "існує".

У логіці предикатів для символічного позначення операції перетворення пропозиційної функції або предикатної формули на висловлювання виокремлюють квантор загальності й квантор існування.

Квантор загальності позначає висловлювання, в якому властивість Р приписують певному непорожньому класу загалом, що означає: для всіх елементів класу А притаманна властивість Р. Цей квантор має вираз "для всіх" ("усі", "кожний", "будь-який", "який би не був"). Його позначають символом V (перевернута перша літера німецького слова Alle - всі), а повна формула - VxP(x) (чит.: кожному х притаманна властивість Р). Так, висловлювання "Для всіх індивідів класу людей притаманна властивість "бути смертними" ("Усі люди смертні") зображають формулою Vx Р(х).

Квантор існування позначає висловлювання про певний непорожній клас, в якому властивість Р притаманна лише декотрим елементам цього класу, тобто існують елементи класу А, яким притаманна властивість Р.

Квантор існування має вираз "існує" ("деякі", "лише один"). Його позначають символом 3 (перевернута перша літера латинського слова existentia - існування), а повна формула - Зх Р(х) (чит.: "існує", яке має властивість Р). Наприклад, висловлювання "Існують люди, котрим притаманна властивість писати вірші" ("Декотрі люди пишуть вірші") зображають формулою Зх Р(х).

Квантори загальності й існування взаємозалежні, тому всі логічні операції здійснюють з визначенням логічних відношень над ними.

На підставі встановлення термінів, що виокремлюють специфіку логіки предикатів і символів алфавіту, створюють формули логіки предикатів.

Побудова формул логіки предикатів:

1. Якщо F і Q - формули, то -" F; (F а Q); (F V Q); (F -> Q); (F = Q) - формули.

2. Кожен д-місний предикатний символ Рл задає формулу одного з видів.