Розділ «4.2. Класична символічна логіка»

Закони тотожності, несуперечності, виключеного третього вперше сформулював Арістотель. Вони є також законами традиційної логіки (див. 3.3). У символічній логіці ці закони розглядають як елементи певної формально-логічної системи і методом побудови таблиці істинності визначають як тотожно-істинні формули.

З виникненням і подальшим розвитком символічної логіки були визначені нові закони логіки висловлювань.

Закон асоціативності (лат. associâtіо - з'єднання) - закон, що визначає еквівалентність кон'юнкції або диз'юнкції з трьома змінними за різного розставлення дужок. На підставі цього закону здійснюють певні логічні операції над висловлюваннями А, В, С для кон'юнкції, диз'юнкції; над класами. Так, ви-

Закон дистрибутивності (лат. (розміщення, розподіл) виражає співвідношення кон'юнкції та диз'юнкції в логічних операціях складання й множення:

Закон експортацїі визначає, що коли змінні А, В, С з'єднані символами кон'юнкції та імплікації, то з істинності кон'юнкції А а В випливає істинність С: (А а В -> С) К А -> (В -> С), де ь- - символ дедуктивного виведення (чит.: якщо істинність кон'юнкції А л В імплікує С, то, якщо істинне А, - випливає з істинності В слідує істинність С).

Закон ідемпотентності (лат. - той, що зберігає те ж саме) означає: добуток двох висловлювань А л А чи сума двох висловлювань А V А еквівалентна самому висловлюванню А, тобто, для кон'юнкції А л А = А (кон'юнкція двох висловлювань А й А еквівалентна А); для диз'юнкції А V А = А (диз'юнкція двох висловлювань А чи А еквівалентна А).

Закон комутативності (лат. - змінюючий) означає, що при множенні (кон'юнкції) та додаванні (диз'юнкції) результат не залежить від порядку змінних. Закон комутативності: для кон'юнкції (А Л В) = {В л А) (чит.: А та В еквівалентне В й А); для диз'юнкції (А V В) = (В V А) (чит.: А або В еквівалентне, що В або А).

Закон контрапозиції (лат. - протиставлення) - закон, за яким імплікації можна протиставити її заперечення: (А -> В) = (-> В -> -o А) (чит.: якщо з висловлювання А випливає висловлювання В, то із заперечення висловлювання В випливає заперечення А).

Закон поглинання визначає, що в кон'юнктивному або диз'юнктивному висловлюванні зі змінними А, В здійснюється поглинання додаткового висловлювання. Закон поглинання: для кон'юнкції А л (А v В) = А (чит.: А й (А або В) еквівалентне А); для диз'юнкції А V (А V В) = А (чит.: А або (А або В) еквівалентне А).

Закон подвійного заперечення визначає, що подвійне заперечення висловлювання А (заперечення заперечення) еквівалентне його ствердженню. Зображають формулами:

1. -" А -> А (чит.: якщо неправильно, що не А, то А);

2* "" -" А = А (чит.: неправильно, що не А еквівалентне ствердженню А).

Закони де Моргана сформулював шотландський логік О. де Морган:

Відношення логічного слідування між формулами

Між певними формулами логіки висловлювань існує відношення логічного слідування. Це означає: якщо із формули виду слідує формула виду то кожен раз, коли формула Р є істинною, то й формула Р2 є істинною. Формальний вираз відношення логічного слідування: Р, -" Р2. Наприклад, із формули виду А слідує формула виду А v В; із формули виду -> -o А слідує формула виду А; із формули виду А v А слідує формула виду А.

На підставі встановлення відношення рівносильності та слідування здійснюють операцію доведення певних формул на істинність за правилами виведення. Операція доведення - невід'ємна частина будь-якого числення висловлювань.

Числення логіки висловлювань - система символів і правил логічного виведення із аксіом довільних формул або теорем з метою їх доведення на істинність. Розрізняють натуральне й аксіоматичне числення логіки висловлювань.

Натуральне числення логіки висловлювань відтворює логічну будову звичайних міркувань. Вперше натуральні числення розробили незалежно один від одного польський логік С. Яськовський (1906-1965) і німецький логік Г. Генцен (1907-1945) у 30-х роках XX ст.

Розглянемо одну із систем натурального числення, яку позначимо літерою 5. Основні правила системи 5.

1. Правила логічного слідування