Розділ 4. СИМВОЛІЧНА ЛОГІКА

Якщо існує суперечність (одночасне доведення формули А і А), то з цих формул можна вивести "все, що завгодно".

Розрізняють формальну й неформальну несуперечність системи 5.

Формальна несуперечність означає, що в межах певної системи 5 не може бути водночас виведеною формула виду А та її заперечення -" А.

Неформальна (змістовна) несуперечність означає, що для певної системи 5 можна побудувати таку інтерпретаційну (семантичну) модель, в межах якої тотожно-істинними формулами є всі формули цієї системи. Якщо в системі 5 виявлена змістовна суперечність, то ця система не може мати змістовної інтерпретації.

4. Повноти, який означає виявлення необхідного зв'язку між тотожно-істинними та доведеними формулами в межах певної системи 5.

Система 5 є дедуктивно повною, якщо - і лише якщо - всі тотожно-істинні формули цієї системи є доказовими. Повнота системи 5 виражається метависловлюванням: (1= А) -> (Ь- А), де А - формула, замість якої можна підставити конкретну формулу, 1= - символ логічного слідування, І--символ дедуктивного виведення, -> - символ імплікації.

Розрізняють повноту в семантичному і синтаксичному аспектах: а) формальна система 5 семантично повна, якщо будь-яка тотожно-істинна формула може бути доведеною в межах цієї системи; б) формальна система 5 є синтаксично повною, якщо в межах цієї системи до її множини аксіом не можна без суперечності приєднати як аксіому жодну недоказову формулу.

Принцип повноти виявився обмеженим, коли німецький математик К. Гедель логічно обґрунтував принцип неповноти формальної системи: "Будь-яка несуперечлива і достатньо багата змістовно (семантично) формальна система 8 дедуктивно неповна, тобто в її межах можна побудувати певну формулу А, до якої не можна застосувати процедуру розв'язання".

5. Незалежності, що означає: в межах певної системи 5 жодна аксіома не може бути виведена із множинності інших. Розрізняють незалежність логічного слідування і незалежність відносно дедуктивного виведення: а) формула виду А певної системи 5 є незалежною відносно логічного слідування, якщо ні сама формула А, ні її заперечення -"А не є логічним наслідком з інших тотожно-істинних формул (аксіом цієї системи); б) формула виду А системи 5 незалежна відносно дедуктивного виведення, якщо ні А, ні її заперечення -< А будуть невивід-ними з інших доказових формул (аксіом цієї системи).

6. Розв'язуваності (вирішеності). Він означає, що в межах певної системи 5 існує загальний метод або алгоритм, який дає змогу відносно формули А встановити, чи є вона вивідною, чи ні.

На підставі сформульованих принципів на металогічному рівні здійснюють аналіз конкретних формально-логічних систем, побудованих у символічній логіці, й визначають, чи відповідає вона сформульованим принципам.

Особливості формально-логічних систем