Розділ 4. СИМВОЛІЧНА ЛОГІКА

3. В межах певної формально-логічної системи розрізняють формальне виведення та формальне доведення, що здійснюють за певними правилами.

Формальне виведення (формальна вивідність) - виведення, яке означає таке відношення логічного слідування, коли із формули виду А виводять формулу виду В, і лише з того випливає: якщо А - істинне, то В - істинна. Таке відношення слідування називається відношенням дедуктивного виведення, формальний вираз якого А - В, де і--символ дедуктивного виведення.

Формальне доведення - доведення, яке має логічну форму виведення формули виду А, яка є теоремою, із формул виду А,, А.,,... А , які є аксіомами за фіксованими правилами виведення. Якщо формулу виду А виводять із формул виду А., А2, ... Ая, то її називають доказовою формулою. Формальне доведення зображають так: (Аґ А2,... Ап) ь А, де А,, А2,... Ап - засновки, А - висновок, а і--символ дедуктивного виведення.

Правила дедуктивного виведення - правила дедуктивного умовиводу, які визначають строге (необхідне) виведення певного висловлювання (висновку) з вихідних висловлювань (засновків) на підставі логічних законів.

Прикладами правил дедуктивного виведення є правила введення й усунення пропозиційних зв'язок (логічних постійних) (див. 4.2.1), правило дедукції - модус поненс тощо. На підставі правил виведення визначають, чи є формула певного виду вивідною чи невивідною, доказовою або недоказовою.

Вивідна формула - формула виду А, яку виводять за допомогою правил виведення зі скінченної послідовності формул виду А1,А2,... Ая, кожна з яких є тавтологією і належить до множинності формул системи 5, відповідно, невивідною є формула, яку не виводять з цих формул.

Символічний запис (А,, А2,Ап) н А засвідчує, що формулу А виводять з аксіом А,, А2.....Ап.

Доказовою називають формулу, яка має формальне доведення за правилами логічного виведення в межах певної системи 5, а недоказовою є формула, яка за правилами логічного виведення не є формально доведеною в межах певної системи 5'.

Семантика - інтерпретація символів певної системи та надання їм істиннісного значення. Для інтерпретації створюють семантичну модель, яка приписує смисл символам, які в сукупності створюють певну формально-логічну систему. Таких інтерпретованих моделей може бути побудовано багато. На семантичному рівні визначають також основні семантичні різновиди формул. Оскільки у побудованих логіками та математиками формально-логічних системах створено багато формул, то їх поділяють на такі види: тотожно-істинні формули, тотожно-хибні формули, нейтральні формули.

Тотожно-істинна формула має значення істинності ("істина") для всіх значень змінних, які входять до структури формули, її ще називають тавтологією (термін Л. Вітгенштайна), загальнозначущою формулою, логічним законом.

Тотожно-хибна формула має значення хибності ("хибність") при всіх значеннях змінних, що входять до структури формули.

Нейтральна формула - формула, яка не є ні тотожно-істинною, ні тотожно-хибною в межах певної формально-логічної системи S.

Установлення того, що деяка формула певного виду тотожно-істивна, тотожно-хибна або нейтральна, здійснюють за допомогою специфічних методів. Одним із таких методів на семантичному рівні є метод побудови таблиць істинності, метод побудови аналітичних таблиць тощо. На синтаксичному рівні для цього використовують метод зведення формул до їх кон'юнктивного або диз'юнктивного виду (про це йтиметься в 4.2.1).

Інтерпретація формально-логічної системи (лат. interpreta-tio- роз'яснення, тлумачення) - 1) роз'яснення значення логічних символів за правилами визначення їхньої істинності та правилами позначення пропозиційних змінних на підставі принципів несуперечності та повноти; 2) побудова семантичної моделі певного типу формально-логічної системи (формалізму) для певної предметної галузі. Розрізняють внутрішню та зовнішню інтерпретацію формально-логічної системи. Внутрішня інтерпретація в контексті мета логічного аналізу формально-логічних систем означає семантичну модель, що будується з метою розкриття значення символів формалізованої мови та надання істиннісного значення висловлюванням у межах певної формально-логічної системи. Інтерпретація має таку послідовність: у межах певної формальної системи S визначають абстрактний об'єкт (предмет, властивість, відношення), який позначають певним символом. Сукупність таких об'єктів називають полем інтерпретації. Кожне висловлювання, що стосується певного об'єкта в системі S, набуває значення істинності ("істина" або "хибність"). Система S, яку вибирають для інтерпретації, називається семантичною моделлю. Для кожної конкретної формально-логічної системи може бути побудована семантична модель, тобто її інтерпретація.

Принципи побудови формально-логічних систем

Визначають на рівні металогіки. Серед них основні такі:

1. Єдності семантичного (змістовного) та синтаксичного (формального) аспектів мови, що створюють методом формалізації.

2. Логічного слідування, який визначає необхідний взаємозв'язок між формулами та вивідністю (доказовістю) однієї формули з іншої за суворо встановленими правилами.

3. Несуперечності, який означає, що в межах певної системи 5 не може бути виведеною водночас формула виду А та її заперечення -o А.

Формальний вираз несуперечності системи: -> (А л -"А).