Розділ «ТЕМА 11. ВИБІРКОВИЙ МЕТОД»

Величина ймовірності задається залежно від мети і завдань дослідження. Ймовірність потрапляння помилки репрезентативності у межах ±1 визначається за формулою інтеграла ймовірностей

р(і) = -1= І е 2йі

лІ2ж 0

Таблиця 87

Витяг із стандартних таблиць "Функція Лапласа"

Значення цього інтеграла міститься в стандартних математичних таблицях "Функція Лапласа" (див. додат. 5, ). В таблиці 87 наведені рівні ймовірностей р для деяких цілих і дробових значень і.

Припустимо, що помилку вибірки треба оцінити з імовірністю 0,954. Це означає, що розбіжність між вибірковою і генеральною середньою не перевищить двох величин середньої помилки, тобто в 95,4 % випадків помилка репрезентативності не вийде за межі ± 2; при ймовірності 0,997 - за межі ± 3 і т. ін.

Для чисельно малих статистичних сукупностей не може бути застосована теорема Ляпунова, яка з'ясовує загальні умови, при здійсненні котрих розподіл суми незалежних випадкових величин прямує до нормального, оскільки значення вибіркової середньої (х ) тут занадто залежить від величини кожної випадкової змінної. Характер розподілу х в цих умовах буде істотно відрізнятися від нормованого розподілу, а довірчі інтервали і довірчі ймовірності (про них мова піде нижче) при малих вибірках можуть бути розраховані тільки за умов нормального розподілу досліджуваної ознаки. За розрахунками Ст'юдента, ймовірність того, що абсолютна величина різниці вибіркової і генеральної середньої буде менше граничної

помилки вибірки (і* Ні являє собою функцію від нормативного відхилення (x) і чисельності вибірки ("). Формула цього доведення

рЛ* - х(ір) = і А(1 +-) 2йі

має вигляд: 111 "-1 ,

А = -,-2 _

п(п _2г ^ г Д ^ _

де < 2 , 2 - гамма - функція.

У практичних розрахунках використовуються таблиці розподілу С'юдента б (x), в яких дано рівні ймовірностей для різних значень п і x (додат.2 ).

На основі теоретичних рівнів імовірностей розраховують фактичні їх рівні. При цьому розрахункова ймовірність (р) становитиме : р = І5 (і) ~0.5]'2. Із сказаного вище випливає, що після обчислення середньої помилки вибірки виникає питання обчислення граничної помилки репрезентативності (а) розмір її у вибірковому спостереженні може бути менший або більший від середньої помилки репрезентативності (-"). Згідно теореми Чебишева і Ляпунова, яка визначає ймовірність того, що гранична помилка вибірки не перевищить x разів взяту середню помилку вибірки (-"), вирішують питання про граничну помилку. Наведемо формулювання теореми Чебишева: з імовірністю, як завгодно близькою до одиниці, можна стверджувати, що при достатньо великій кількості незалежних спостережень вибіркова середня (*) буде як завгодно мало відрізнятися від генеральної середньої (*). Отже, гранична помилка вибірки (а) обчислюється з певною ймовірністю (р), якій відповідає x - разове значення середньої помилки (-"):д= x .

Межі середньої характеристики в генеральній сукупності становитимуть: для середньої - х = ~ ±А;

для частки - р=м±А.

У розгорнутому вигляді формули граничної помилки для повторної і безповторної схеми відбору наведені у наступному прикладі.

Приклад. Розглянемо конкретний приклад розрахунку граничної помилки вибірки при визначенні середньої характеристики у вибірковій сукупності і частки вибірки.