Розділ «§ 5.4. Моменти статистичного розподілу»

Варіаційний ряд розподілу може характеризуватися системою статистик, які мають загальний математичний вираз і носять назву моментів розподілу. В цій системі знаходять своє відображення (місце) такі узагальнюючі характеристики ряду, як середня і дисперсія.

Система моментів розподілу вперше була розроблена російськім математиком П.Л.Чебишевим.

Загальний математичний вираз моменту розподілу (загального емпіричного моменту) має вигляд:

м =І(*-- А)" п

" 1щ

де м" - момент к-го порядку; *< - варіанти ряду; - частоти ряду;

к, А - постійні числа [к-порядок (степінь), А - довільне постійне число (несправжній нуль)].

Слід пам'ятати, що при розрахунку моментів статистичних розподілів осредняєтся к- та степінь відхилень значень ознаки (варіанти) Хі від деякої постійної величини (А).

Залежно від того, яка величина прийнята за умовний початок (А), загальна система моментів може бути подана підсистемами початкових, центральних і нормованих моментів.

Якщо умовний початок А = о, отримують підсистему початкових моментів. Початковий момент к-го порядку (к-ї степені)

виражається формулою:

1.x' п, М =--

де м" - початковий момент к-го порядку;

Іхп - сума добутків варіант к -ї степеня на їх частоти;

' - сума частот.

При к= 0 момент називається початковим моментом нульового порядку, при к= 1 - початковим моментом 1-го порядку при к= 2 -початковим моментом 2-го порядку і т.д.

Розрахунок величин початкових моментів від нульового до четвертого порядків представлений схематично в таблиці 33.

При А=х одержуємо підсистему центральних моментів. Центральний момент к -го порядку виражається формулою:

Як видно з наведеної формули, центральні моменти являють собою середні із різних степенів відхилень від середньої арифметичної.