Розділ «ТЕМА 6. АНАЛІЗ ПОДІБНОСТІ РОЗПОДІЛІВ»

§ 6.1. Статистична оцінка параметрів розподілу

Питання статистичної оцінки пов'язують в єдине ціле такі проблемні аспекти математичної статистики, як наукова методологія, випадкові величини, статистичні розподіли та ін. Для будь-якої вибірки притаманні помилки, зумовлені неповнотою охоплення одиниць, помилками вимірювання і тому подібними причинами. Такі помилки в реальному житті надають кожній гіпотезі (зокрема, сформульованій на базі економічних висновків) випадковий, стохастичний характер. Незалежно від кількості змінних, передбачених теоретичними гіпотезами, робиться припущення, що вплив різних видів помилок може бути достатньо точно описаний за допомогою лише однієї складової. Такий методологічний підхід дозволяє обмежитися одномірним розподілом імовірностей при одночасному оцінюванні декількох параметрів.

Статистична оцінка - це один із двох типів статистичного судження (другий тип - перевірка гіпотез). Вона являє собою особливого роду метод судження про числові значення характеристик (параметрів) розподілу генеральної сукупності за даними вибірки з цієї сукупності. Тобто, маючи результати вибіркового спостереження, ми намагаємося оцінити (з найбільшою точністю) значення визначених параметрів, від яких залежить розподіл ознаки (змінної), яка нас цікавить, у генеральній сукупності. Оскільки вибірка включає тільки частину одиниць генеральної сукупності (інколи дуже мале їх число), існує ризик допустити помилку. Незважаючи на зменшення такого ризику зі збільшенням числа одиниць спостереження, він все ж має місце при вибірковому спостереженні. Звідси, прийнятим за результатами вибірки рішенням надають імовірнісний характер. Але було б невірним розглядати статистичні судження тільки з позицій імовірностей. Такій підхід не завжди виявляється достатнім для побудови правильних теоретичних припущень відносно параметрів генеральної сукупності. Часто потрібен ще ряд додаткових суджень, які б забезпечили більш глибоке обґрунтування. Наприклад, потрібно оцінити з можливо більшим наближенням значення середньої чисельності кваліфікованих робітників у підприємствах регіону. При цьому оцінюється середня арифметична змінної х з генеральної сукупності, яка має нормальний розподіл. Одержавши вибірку по даній ознаці в кількості п одиниць, необхідно розв'язати питання: яку величину за даними вибірки необхідно прийняти як найбільш близьку до середньої в генеральній сукупності? Таких величин, математичне очікування яких дорівнює шуканому параметру (або близьке до нього), можна навести кілька: а) середня арифметична; б) мода; в) медіана; г) середня, обчислена за розмахом варіації, і т.д.

Із імовірнісної точки зору кожну з названих вище величин можна вважати такими, що дають найкраще наближення до шуканого параметра генеральної сукупності (х), оскільки математичне очікування кожної з цих функцій (особливо для великих вибірок) дорівнює генеральній середній. Зумовлюється таке припущення тим, що при багаторазовому повторенні вибірки із тієї самої генеральної сукупності буде одержаний "в середньому" вірний результат.

Правильність "в середньому" пояснюється рівністю повторювань додатних і від'ємних відхилень виникаючих помилок оцінки генеральної середньої, тобто середня помилка оцінки буде дорівнювати нулю.

У практичних умовах, як правило, організовують одну вибірку, тому дослідника цікавить питання про більш точну оцінку шуканого параметра за результатами конкретної вибірки. Для вирішення такого завдання, крім висновків, які випливають безпосередньо з абстрагованого обчислення ймовірностей, потрібні додаткові правила мотивування найкращого наближення оцінки до шуканого параметра генеральної сукупності.

Існує достатня кількість способів оцінки констант за вибірковими спостереженнями. Які з них найкращі у рішенні конкретних завдань дослідження - займається теорія статистичного оцінювання. Вона досліджує умови, яким повинна підпорядковуватися та чи інша оцінка, орієнтує на оцінки, більш переважаючі при даних обставинах. Теорія оцінок вказує на перевагу однієї оцінки порівняно до іншої.

Як відомо, інформація, одержана на основі вибірки, не носить категоричного характеру у висновку. Якщо, наприклад, із досліджуваних 100 голів тварин щодо їх захворювання здоровими виявилися 99, то існує ймовірність, що одна тварина, яка залишилася необстеженою саме носить у собі вірус передбачуваного захворювання. Оскільки це мало ймовірно, робиться висновок про відсутність даного захворювання. У більшості випадків такий висновок повністю виправдовується.

Керуючись подібними висновками в практичній діяльності, експериментатор (дослідник) спирається не на вірогідність інформації, а лише на її ймовірність.

Другий бік вибіркового спостереження, як уже відзначалося, вирішує завдання можливо більш об'єктивного визначення ступеня надійності одержуваних вибіркових оцінок. Розв'язуванню цього завдання намагаються надати якомога точніший імовірнісний вираз, тобто мова йде про визначення ступеня точності оцінки. Тут дослідник визначає межі можливої розбіжності між оцінкою, одержаної при вибірці, і дійсним значенням її величини в генеральній сукупності.

Точність оцінки зумовлюється способом її розрахунку за даними вибірки і способом відбору одиниць у вибіркову сукупність.

Спосіб одержання оцінок передбачає будь-яку обчислювальну процедуру (метод, правило, алгебраїчну формулу). Це пріоритет теорії статистичного оцінювання. Способи відбору ведуть до питань техніки здійснення вибіркового дослідження.

Викладене вище дозволяє дати визначення поняттю "статистична оцінка".

Статистична оцінка - це наближене значення шуканого параметра генеральної сукупності, яке одержано за результатами вибірки й забезпечує можливість прийняття обґрунтованих рішень про невідомі параметри генеральної сукупності.

Припустимо, що ^" - статистична оцінка невідомого параметра ^теоретичного розподілу. За багаторазово здійснюваними однакового

0 0 0 0

обсягу вибірками з генеральної сукупності знайдені оцінки и2 ^"' п,

що мають різні значення. Тому оцінку^", можна розглядати як

0 0 0 0