Розділ «ТЕМА 6. АНАЛІЗ ПОДІБНОСТІ РОЗПОДІЛІВ»

Якщо розраховуються тільки значення ознаки, які перевищують

(або навпаки не перевищують) значення шуканого параметра х, довірчий інтервал називається одностороннім. Якщо розглядувані значення обмежуються з обох сторін, довірчий інтервал носить назву двостороннього. Із сказаного вище випливає, що гіпотези і ряд критеріїв, зокрема критерій Х-Ст'юдента, потрібно розглядати як односторонні і двосторонні. Тому при двосторонній гіпотезі рівень значимості для одного і того ж значення X буде в два рази більший, ніж односторонній. Якщо ми хочемо при односторонній гіпотезі залишити таким же рівень значимості (і рівень довірчої імовірності), як при двосторонній гіпотезі, то величину X слід взяти меншу. Ця особливість врахована при складанні стандартних таблиць критеріїв Х-Ст'юдента (додаток 1).

Відомо, що з практичного боку частіше являють інтерес не стільки довірчі інтервали можливої величини генеральної середньої, скільки ті максимальні і мінімальні величини, більше або менше яких із заданою (довірчою) ймовірністю генеральна середня бути не може. У математичній статистиці їх називають гарантованим максимумом і гарантованим мінімумом середньої. Позначивши названі параметри

відповідно через і х™, можна записати : хш™ =х+ ; хшіп=х ~ .

При обчисленні гарантованих максимальних і мінімальних значень генеральної середньої, як границі одностороннього довірчого інтервалу в наведених вище формулах, величина 1 береться як критерій односторонній.

Приклад. По 20 ділянках вибірки встановлена середня врожайність цукрових буряків 300 н/га. Дана вибіркова середня характеризує відповідний

параметр генеральної сукупності (х) з помилкою 10 н/га. Відповідно до вибірковості оцінок генеральна середня урожайність може бути як більше, так і менше вибіркової середньої х = 300. Із імовірністю Р = 0,95 можна стверджувати, що шуканий параметр не буде більшим хш" = 300 +1,73 х10 = 317,3 ц/га.

Величина 1 взята для числа ступенів вільності ^ =20-1 при односторонній критичній області і рівні значимості а= 0,05 (додаток 1). Отже, із імовірністю Р= 0,95 гарантований максимально можливий рівень генеральної середньої врожайності оцінюється в 317 н/га, тобто при найсприятливіших умовах середня урожайність цукрових буряків не перевищує вказаної величини.

У деяких галузях знань (наприклад, у природничих науках) теорія оцінки поступається перед теорією перевірки статистичних гіпотез. В економічній науці методи статистичної оцінки відіграють дуже важливу роль у справі перевірки надійності результатів досліджень , а також у різного роду практичних розрахунках. Передусім це стосується використання точкової оцінки досліджуваних статистичних сукупностей. Вибір якомога кращої оцінки - основна проблема точкової оцінки. Можливість такого вибору зумовлюється знанням основних властивостей (вимог) статистичних оцінок.

§ 6.2. Закони розподілу вибіркових характеристик

6.2.1. Загальне поняття законів розподілу

Закон розподілу характеризує випадкову величину з точки зору теорії ймовірностей. Розподіл імовірностей тісно зв'язаний з рядами розподілу частот. Якщо розглядати ряди розподілу (користаючись термінологією теорії ймовірностей) як перелік можливих результатів або груп вимірів і відповідних їм частот кожного результату, то аналогічне визначення можна дати і розподілу ймовірностей. Це перелік можливих результатів або груп вимірів, але, замість спостережуваної частоти, тут вказані ймовірності появи кожного результату.

У практичних і наукових розрахунках іноді доводиться аналізувати ознаку, яка є випадковою величиною з невідомим характером статистичного розподілу, тобто його законом. Щоб знайти цей закон розподілу, проводять статистичне спостереження за випадковою змінною у визначених умовах і одержують варіаційний ряд, який дає уявлення про її емпіричний розподіл. По цьому розподілу випадкової величини необхідно знайти невідомий її закон як загальний закон розподілу досліджуваної ознаки. Вирішення такого завдання у загальному вигляді вважається проблемним. Однак, виходячи з ряду загальних гіпотез, можна математично довести, якими повинні бути розподіли чисельностей ознаки досліджуваної сукупності. Такі розподіли називають теоретичними.

Слід пам'ятати, що законів, за якими розподіляється випадкова величина, існує багато. Але класичними прийнято вважати три теоретичних розподіли, які за своєю науковою важливістю займають чільне місце серед інших. Якщо розглядати в хронологічному порядку їх відкриття, то назви цих теоретичних розподілів розмістяться у такі послідовності: біноміальний (відкритий Я.Бернуллі, 1700), нормальний (Демуавр, 1773; Гаусе, 1809; Лаплас, 1812) та Пуассоновий (С. Пуассон, 1837). Серед названих важливим законом, на якому ґрунтується переважна більшість статистичних методів дослідження, є закон нормального розподілу.

Велика кількість теоретичних розподілів відкрита трохи пізніше. Але більшість цих відкрить значною мірою була зумовлена властивостями перших трьох розподілів (біноміальний, нормальний, Пуассонів) і особливо нормального. Названі три види розподілу являють логічно і теоретично відправний пункт теорії будь-яких спеціальних видів (типів) розподілів.

Окремі закони розподілу пов'язані з характером розподілу деяких випадкових величин, що застосовуються для вирішення конкретних задач. Закони названо іменами вчених, які визначили функції розподілу різних випадкових величин. Серед них широко використовуються закони розподілу (або просто "розподіли") Пірсона, Стьюдента, Фішера.

Під законом розподілу слід розуміти такий теоретичний розподіл, до якого прямує емпіричний розподіл при п .Для чого потрібно знати закони розподілу? По-перше, для оцінки параметрів генеральної сукупності; по-друге, для перевірки статистичних гіпотез; по-третє, для здійснення прогнозних розрахунків.

Як говорилося вище, по емпіричному розподілу випадкової величини знаходять невідомий закон її розподілу. Але при рішенні ряду практичних задач відпадає необхідність розрахунку можливих значень випадкової величини і відповідних їм рівнів імовірностей. Зокрема, інколи зручніше використовувати деякі характеристики, що синтезують у собі інформацію про випадкову величину. їх називають числовими (кількісними) характеристиками випадкової величини. Наведемо їх: середня (математичне очікування), дисперсія, мода, медіана, моменти різних порядків.

На основі всебічного аналізу цих параметрів, загальних теоретичних передумов і знання особливостей тих чи інших розподілів вибирають розподіл, який найкращим чином апроксимує емпирічний (фактичний) розподіл випадкової змінної. На наступному етапі дослідження знаходять параметри того закону розподілу, котрий характеризує досліджувану випадкову величину. Так, урожайність цукрових буряків ("на корені") являє собою випадкову величину. Для визначення "видової" врожайності в регіоні відібрано 60 підприємств. Щоб визначити закон розподілу 60 показників урожайності підприємств, що знаходяться в однакових умовах, розраховано показники "видової" урожайності і впорядковані дані представлені у вигляді варіаційного ряду розподілу. Виходячи з теореми Ляпунова, слід припустити, що показник урожайності -випадкова величина, розподілена за нормальним законом. Потрібно обчислити параметри цього закону, які характеризують саме рівень урожайності. На подальшому етапі дослідження вирішується завдання перевірки правильності вибору виду розподілу. Інакше кажучи, встановлюється ступінь узгодженості припущеного (теоретичного) розподілу з емпіричним. Ці питання будуть розглянуті у наступних розділах.

6.2.2. Нормальний розподіл