Розділ «ТЕМА 6. АНАЛІЗ ПОДІБНОСТІ РОЗПОДІЛІВ»

Закон нормального розподілу, так званий Закон Гаусса, - один з найпоширеніших законів. Це фундаментальний закон у теорії ймовірностей і в її застосуванні. Нормальний розподіл найчастіше зустрічається у вивченні природних і соціально-економічних явищ. Інакше кажучи, більшість статистичних сукупностей у природі і суспільстві підпорядковується закону нормального розподілу. Відповідно можна сказати, що сукупності значної частини великих за обсягом вибірок підпорядковуються закону нормального розподілу. Ті із сукупностей, які відхиляються від нормального розподілу в результаті спеціальних перетворень, можуть бути наближені до нормального. У зв'язку з цим слід пам'ятати, що принципова особливість цього закону стосовно до інших законів розподілу полягає в тому, що він є законом границі, до якої наближаються інші закони розподілу в певних (типових) умовах.

Слід відмітити, що термін "нормальний розподіл" має умовний зміст, як загальноприйнятий у математичній і статистико-математичній літературі термін. Твердження, що та чи інша ознака будь-якого явища підпорядковується закону нормального розподілу, зовсім не означає непохитність норм, ніби притаманних досліджуваному явищу, а віднесення останнього до другого виду закону не означає якусь анормальність даного явища. У цьому розумінні термін "нормальний розподіл" не зовсім вдалий.

Нормальний розподіл (закон Гаусса-Лапласа) є типом безперервного розподілу. Де Муавр (1773, Франція) вивів нормальний закон розподілу ймовірностей. Основні ідеї цього відкриття були використані в теорії помилок вперше К. Гауссом (1809, Німеччина) і А.Лапласом (1812, Франція), які внесли вітчутний теоретичний вклад у розробку самого закону. Зокрема, К.Гаусс у своїх розробках виходив з визнання найбільш імовірним значенням випадкової величини-середню арифметичну. Загальні умови виникнення нормального розподілу встановив А.М.Ляпунов. Ним було доведено, що якщо досліджувана ознака являє собою результат сумарної дії багатьох факторів, кожен з яких мало пов'язаний з більшістю решти, і вплив кожного фактора на кінцевий результат набагато перекривається сумарним впливом всієї решти факторів, то розподіл стає близьким до нормального.

Нормальним називають розподіл імовірностей безперервної випадкової величини, яка має щільність:

_ 1 1 ()2

/(х,х,<т) = -^е 2ст2

де х - математичне очікування або середня величина. Як видно, нормальний розподіл визначається двома параметрами: х і ° . Щоб задати нормальний розподіл, досить знати математичне очікування, або середню і середнє квадратичне відхилення. Ці дві величини визначають центр групування і форму

кривої на графіку. Графік функції ї(хх,ст) називається нормальною кривою (крива Гаусса) з параметрами х і ст (рис. 12).

Крива нормального розподілу має точки перегину при X ± 1. Якщо уявити графічно, то між X=+l і 1=-1 знаходиться 0,683 частини всієї площі кривої (тобто 68,3%). У границях X=+2 і X- 2. знаходяться 0,954 площі (95,4 %), а між X=+3 і X= - 3 - 0,997 частини всієї площі розподілу (99,7%). На рис. 13 проілюстрований характер нормального розподілу з одно-, дво- і трисигмовою границями.

При нормальному розподілі середня арифметична, мода і медіана будуть рівними між собою. Форма нормальної кривої має вид одновершинної симетричної кривої, вітки якої асимптотично наближаються до осі абсцис. Найбільша ордината кривої відповідає х = 0 . У цій точці на осі абсцис розміщується чисельне значення ознак, яке дорівнює середній арифметичній, моді і медіані. По обидві сторони від вершини кривої її вітки спадають, змінюючи в певних точках форму випуклості на увігнутість. Ці точки симетричні і відповідають значенням х=±1, тобто величинам ознаки, відхилення яких від середньої чисельно дорівнює середньому квадратичному відхиленню. Ордината, що відповідає середній арифметичній, ділить всю площу між кривою і віссю абсцис пополам. Отже, ймовірності появи значень досліджуваної ознаки більших і менших середньої

арифметичної будуть рівні 0,50, тобто х,(~^х)=0,50 У

Рис.12. Крива нормального розподілу (крива Гауса)

Форму і положення нормальної кривої зумовлюють значення середньої і середнього квадратичного відхилення. Математично доведено, що зміна величини середньої (математичного очікування) не змінює форми нормальної кривої, а призводить лише до її зміщення вподовж осі абсцис. Крива зрушується вправо, якщо ~ зростає, і вліво, якщо ~ спадає.

Рис.14. Криві нормального розподілу з різними значеннями параметра о

Про зміну форми графіка нормальної кривої при зміні

середнього квадратичного відхилення можна судити по максимуму

диференціальної функції нормального розподілу, який дорівнює 1

. Як видно, при зростанні величини ° максимальна ордината кривої буде зменшуватися. Отже, крива нормального розподілу буде стискуватися до осі абсцис і приймати більш плосковершинну форму.

І, навпаки, при зменшенні параметра ст нормальна крива витягується в додатному напрямку осі ординат, а форма "дзвона" стає більш гостровершиною (рис. 14). Відзначимо, що незалежно від величини параметрів ~ і ст площа, обмежена віссю абсцис і кривою, завжди дорівнює одиниці (властивість щільності розподілу). Це наочно ілюструє графік (рис. 13).

Названі вище особливості прояву "нормальності" розподілу дозволяють виділити ряд загальних властивостей, які мають криві нормального розподілу: