TextBook Розрахунок частот нормального розподілу (вирівнювання емпіричних частот за нормальним законом)
| Розрахункові величини | Статистичні параметри | ||||||||||||||
| Інтервал , 0=4) | Серединне значення (центр) інтервалу, Хі | Кількість одиниць, П1 | xt-x | (Л -X? | -х)2n¡ | нормоване відділення, а | табличне значення функції, f(t) | теоретична частота нормального ряду розподілу, /0)х - а | уточнене значення теоретичної частоти, щ | ||||||
| А | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 1 | 8 | 9 | 10 | |||||
| 15-19 | 17 | 4 | 68 | -12 | 144 | 576 | 1,92 | 0,0632 | 2,31 | 9 | |||||
| 19-23 | 21 | 6 | 126 | -8 | 64 | 384 | 1,28 | 0.1758 | 6,42 | > > | |||||
| 23-27 | 25 | 9 | 225 | -4 | 16 | 144 | 0,64 | 0,3251 | 11,87 | 12 | |||||
| 27-31 | 29 | 17 | 493 | 0,3989 | 14,56 | 15 | |||||||||
| 31-35 | 33 | 13 | 429 | 4 | 16 | 208 | 0,64 | 0,3251 | 11,87 | 12 | |||||
| 35-39 | 37 | 3 | 111 | 8 | 64 | 192 | 1,28 | 0,1758 | 6,42 | ||||||
| 39-43 | 41 | 5 | 205 | 12 | 144 | 720 | 1,92 | 0,0632 | 2,31 | 9 | |||||
| Всього | X | 57 | 1654 | X | 2224 | X | X | 55,76 | 57 | ||||||
| г=4 | je = 29 | а = 6,25 | ^і = 36,5 а | ||||||||||||
Таблиця 43
Розрахунок частот нормального розподілу (вирівнювання емпіричних частот по нормальному закону)
| Кількість одиниць, П1 | Розрахункові величини | Статистичні параметри | ||||||||||||
| Інтервал (і-2) | Серединне значення (центр) інтервалу, Хі | XfHs | xt-x | (je, -xf | ^xt -x)1ni | нормоване відхилення xs - х t = x--L a | табличне значення функції, f(t) | теоретична частота нормального ряду розподілу /(ох - а | уточнене значення теоретичної частоти, | |||||
| А | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 1 | 8 | 9 | 10 | ||||
| 19-21 | ш | - | - | - | - | 2,49 | '0,0180 | - | 111 | |||||
| 21-23 | 22 | 5 | 110 | -4 | 16 | 80 | 1,66 | 0,1006 | 5 | 5 | ||||
| 23-25 | 24 | 15 | 360 | -2 | 4 | 60 | 0,83 | 0,2827 | 13 | 13 | ||||
| 25-27 | 26 | 20 | 520 | 0,3989 | 19 | 19 | ||||||||
| 27-29 | 28 | 10 | 280 | 2 | 4 | 40 | 0,83 | 0,2827 | 13 | 13 | ||||
| 29-31 | ЗО | 5 | 150 | 4 | 16 | 80 | 1,66 | 0,1006 | 5 | 5 | ||||
| 31-33 | 32 | 2 | 64 | 6 | 36 | 72 | 2,49 | 0,0180 | І | I | ||||
| Всього | X | 57 | 1484 | X | X | 332 | X | X | 56 | 57 | ||||
| і=2 | х = 26 | о = 2,41 | ^=47,3 ct | |||||||||||
Рис. 15. Емпіричний розподіл (1) і нормальна крива (2)
Криву нормального розподілу по досліджуваній сукупності можна побудувати і іншим способом (на відміну, від розглянутого вище). Так, якщо необхідно мати наближену уяву про відповідності фактичного розподілу нормальному, обчислення здійснюють у такий послідовності. Визначають максимальну ординату, яка відповідає середньому розміру ознаки ), потім, обчисливши середнє квадратичне відхилення, розраховують координати точок кривої нормального розподілу за схемою, викладеною в таблицях 42 і 43. Так, за вихідними і розрахунковими даними таблиці 43 маємо середню ~ = 26 Ця величина середньої збігається з центром четвертого інтервалу (25-27). Отже, частота цього інтервалу "20" може бути прийнята (при побудові графіка) за максимальну ординату). Маючи обчислену дисперсію (ст=2,41, див. табл. 43), розраховуємо значення координат всіх необхідних точок кривої нормального розподілу (табл. 44, 45). За отриманими координатами креслимо нормальну криву (рис. 16), прийнявши за максимальну ординату частоту четвертого інтервалу.
Узгодженість емпіричного розподілу з нормальним може бути встановлена також шляхом спрощених розрахунків. Так, якщо відношення показника міри асиметрії (^) до своєї середнєквадрати-чної помилки ша' або відношення показника ексцесу (Ех) до своєї середнєквадратичної помилкит& перевищує за абсолютною величиною число "3", робиться висновок про невідповідність емпіричного розподілу характеру нормального розподілу (тобто,
Ац Ех
якщо ™А >3 або ше' >3).
Є й інші, нетрудомісткі прийоми встановлення "нормальності" розподілу: а) порівняння середньої арифметичної з модою і медіаною; б) використання чисел Вестергарда; в) застосування графічного способу за допомогою напівлогарифмічної сітки Турбіна; г) обчислення спеціальних критеріїв узгодження та ін.
Таблиця 44
Координати 7 точок кривої нормального розподілу
| Точка | 1 | 2і 3 | 4 і 5 | 6 і 7 |
| Абсцис, х | X | х ± 0,5сг | х ±а | х ± 1,5(7 |
| Ордината, у | ушах | 7 8 ^ | 5 8 *™ | 2.5 |
Таблиця 45
Обчислення координат точок кривої нормального розподілу
| X | x - 1,5(7 = = 22,4 | х - а = 23,6 | х - 0,5(7 = = 24,8 | х = 26 | х + 0,5ст = 27,2 | х + а = 28,4 | X + 1,5(7 = = 29,6 |
| У | 6 | 12 | 17 | 20 | 17 | 12 | 6 |
Рис .16. Крива нормального розподілу, побудована по семи точках
На практиці при дослідженні сукупності на предмет узгодження її розподілу з нормальним часто користуються "правилом 3сг".
Математично доведено ймовірність того, що відхилення від середньої за абсолютною величиною буде менше потрійного середнього квадратичного відхилення, дорівнюватиме 0,9973, тобто, ймовірність того, що абсолютна величина відхилення перевищує потрійне середнє квадратичне відхилення, дорівнює 0,0027 або дуже мала. Виходячи з принципу неможливості малоймовірних подій, можна вважати практично неможливим "випадок перевищення" 3ст. Якщо випадкова величина розподілена нормально, то абсолютна величина її відхилення від математичного очікування (від середньої) не перевищує потрійного середнього квадратичного відхилення.
У практичних розрахунках діють таким чином. Якщо при невідомому характері розподілу досліджуваної випадкової величини розраховане значення відхилення від середньої виявиться менше значення 3СТ, то є підстави вважати, що досліджувана ознака розподілена нормально. Якщо ж вказаний параметр перевищить числове значення 3СТ, можна вважати, що розподіл досліджуваної величини не узгоджується з нормальним розподілом.
Обчислення теоретичних частот для досліджуваного емпіричного ряду розподілу прийнято називати вирівнюванням емпіричних кривих по нормальному (або будь-якому іншому) закону розподілу. Цей процес має важливе як теоретичне, так практичне значення. Вирівнювання емпіричних даних розкриває закономірність в їх розподілі, яка може бути завуальована випадковою формою свого прояву. Встановлену таким чином закономірність можна використовувати для вирішення ряду практичних завдань.
З розподілом, близьким до нормального, дослідник зустрічається в різних сферах науки і областях практичної діяльності людини. В економіці такого роду розподіли зустрічаються рідше, ніж, скажімо, у техніці або біології. Зумовлено це самою природою соціально-економічних явищ, які характеризуються великою складністю взаємозалежних і взаємопов'язаних факторів, а також наявністю ряду умов, які обмежують вільну "гру" випадків. Але економіст повинен звертатися до нормального розподілу, аналізуючи будову емпіричних розподілів, як до деякого еталону. Таке порівняння дозволяє з'ясувати характер тих внутрішніх умов, які визначають дану фігуру розподілу.
Проникнення сфери статистичних досліджень в область соціально-економічних явищ дало змогу розкрити існування великої кількості різного типу кривих розподілу. Однак не треба вважати, що теоретична концепція кривої нормального розподілу взагалі мало придатна у статистико-математичному аналізі такого типу явищ. Вона може бути не завжди прийнятна в аналізі конкретного статистичного розподілу, але в області теорії і практики вибіркового методу дослідження має першочергове значення.
Сторінки
В нашій електронній бібліотеці ви можете безкоштовно і без реєстрації прочитати «Статистика» автора Опря А.Т. на телефоні, Android, iPhone, iPads. Зараз ви знаходитесь в розділі „ТЕМА 6. АНАЛІЗ ПОДІБНОСТІ РОЗПОДІЛІВ“ на сторінці 14. Приємного читання.