Розділ «ТЕМА 6. АНАЛІЗ ПОДІБНОСТІ РОЗПОДІЛІВ»

випадкову величину, а 172,3~' п - як її можливі значення. Як випадкова величина, вона характеризується певною функцією щільності ймовірностей. Оскільки ця функція зумовлена результатом вибіркового спостереження (експерименту), то її називають вибірковим розподілом. Така функція описує щільність імовірності для кожної із оцінок, використовуючи певне число вибіркових

спостережень. Якщо припустити, що, статистична оцінка ^", - це алгебраїчна функція від певного набору даних і такий набір буде одержаний при здійсненні вибіркового спостереження, то в

загальному вигляді оцінка одержить вираз: ®п=f(Xl.X2, ^3,...Хт).

По закінченні вибіркового обстеження дана функція вже не є оцінкою загального вигляду, а приймає - конкретне значення, тобто стає кількісною оцінкою (числом). Інакше кажучи, з вищенаведеного виразу функції випливає, що будь який з показників, які характеризують результати вибіркового спостереження, можна вважати оцінкою. Вибіркова середня є оцінкою генеральної середньої. Розрахована за вибіркою дисперсія або обчислене з неї значення середнього квадратичного відхилення є оцінками відповідних характеристик генеральної сукупності і т.ін

Як уже відмічалося, розрахунок статистичних оцінок не гарантує виключення помилок. Суть полягає в тому, що останні не повинні бути систематичними. Наявність їх має носити випадковий характер. Розглянемо методологічну сторону цього положення.

Припустимо, оцінка ^" дає неточне значення оцінки ^ генеральної сукупності з нестачею. У цьому випадку кожне обчислене значення =1,2,3,...,п) буде меншим за дійсне значення величини $ .

З цієї причини математичне очікування (середнє значення) випадкової величини в буде менше, ніж в, тобто (М(^п . І, навпаки, якщо дає оцінку з надлишком, то і математичне очікування

випадкової ^" стане більшим, ніж $ .

Звідси випливає, що використання статистичної оцінки, математичне очікування якої не дорівнює оцінюваному параметру, призводить до систематичних похибок, тобто до невипадкових помилок, які викривляють результати вимірювань в один бік.

Виникає природна вимога: математичне очікування оцінки ^" повинно дорівнювати оцінюваному параметру. Дотримання цієї вимоги не усуває помилок у цілому, оскільки вибіркові значення оцінки можуть бути більші або менші дійсного значення оцінки генеральної сукупності. Але помилки в один і другий бік від значень ^ будуть зустрічатися (згідно з теорією імовірностей) з однаковою частотою. Отже, дотримання цієї вимоги, що математичне очікування вибіркової оцінки повинно дорівнювати оцінюваному параметру, виключає одержання систематичних (невипадкових) помилок, тобто

М (в) = 6.

Вибір статистичної оцінки, яка дає найкраще наближення оцінюваного параметра, являє собою важливу задачу в теорії оцінювання. Якщо відомо, що розподіл досліджуваної випадкової величини в генеральній сукупності відповідає закону нормального розподілу, то за вибірковими даними необхідно оцінити математичне очікування і середнє квадратичне відхилення. Пояснюється це тим, що названі дві характеристики повністю визначають основи, на яких побудовано нормальний розподіл. Якщо досліджувана випадкова величина розподілена за законом Пуассона, оцінюють параметр ^, оскільки він визначає цей розподіл.

Математична статистика розрізняє такі методи одержання статистичних оцінок за вибірковими даними : метод моментів, метод максимуму правдоподібності.

При одержанні оцінок методом моментів моменти генеральної сукупності замінюються моментами вибіркової сукупності (замість ймовірностей за ваги використовують частоти).

Щоб статистична оцінка давала "найкраще наближення" до генеральної характеристики, вона повинна мати ряд властивостей. Про них мова піде нижче.

Можливість вибору найкращої оцінки зумовлюється знанням їх основних властивостей і вмінням класифікувати оцінки за цими властивостями. У математичній літературі "властивості оцінок" інколи називають "вимоги до оцінок" або "критерії оцінок".До основних властивостей статистичних оцінок належать: незміщеність, ефективність, спроможність, достатність.

Якщо прийняти, що вибіркова середня (~) і вибіркова дисперсія

(Ств) є оцінками відповідних генеральних характеристик (^ ), тобто їх математичним очікуванням, враховуємо, що при великій кількості

одиниць вибірки названі характеристики (~ ) будуть наближені до їх математичних очікувань. Якщо ж число одиниць вибірки невелике, ці характеристики можуть значно відрізнятися від відповідних математичних очікувань.

Якщо середнє значення вибіркових характеристик, вибраних як оцінки, відповідає значенню генеральної характеристики, оцінка називається незміщеною. Доказом того, що математичне очікування вибіркової середньої дорівнює генеральній середній (м(х)=х), свідчить про те, що величина ~ є незміщеною генеральною