Розділ «ТЕМА 6. АНАЛІЗ ПОДІБНОСТІ РОЗПОДІЛІВ»

Незміщеною називають статистичну оцінку, математичне очікування якої при будь-якому обсязі вибірки дорівнює значенню

параметра генеральної сукупності, тобто м(^)=9;м(х)=х.

Категорію "математичне очікування" вивчають у курсі теорії ймовірностей. Це числова характеристика випадкової величини. Математичне очікування наближено дорівнює середньому значенню випадкової величини. Математичним очікування дискретної випадкової величини називають суму добутків усіх її можливих значень на їх імовірності. Припустимо, виконано п досліджень, в яких випадкова величина х прийняла ш1 разів значення ш2 разів значення Ші разів значення Хк . При цьому Ш1+Ш2+Ш3+...+Шк=п. Тоді сума всіх значень, прийнятих х ,дорівнює

х1ш1 + х2 ш2 + х3ш3 +... + хкшк

Середня арифметична цих значень становитиме:

- х1ш1 + х2ш2 + х3ш3 +... + хкшк - ш1 ^ ш2 ^ ш3 ^ ^ шк

п або 1 п 2 п 3 п 1 п .

Оскільки п - відносна частота ^ значення х^ п - відносна частота значення х2 і т.д., наведене вище рівняння набуде вигляду:

Х = Х1№1 + Х2 №2 + Х3№3 + ... + ХкН>к

При великій кількості вибіркових спостережень відносна частота приблизно дорівнює ймовірності появи події, тобто

и>1 = Л; ^2 = Щ = ™к = Рк або х2х1р1 +х2р2 + Х3р3 +... + ХкРк . тоді

х ~ м (х) імовірнісний зміст одержаного результату розрахунків полягає в тому, що математичне очікування наближено дорівнює (тим точніше, чим більша вибірка) середньому арифметичному спостережуваних значень випадкової величини [М(х-)= ~ 1.

Критерій незміщеності гарантує відсутність систематичних помилок в оцінці параметрів генеральної сукупності .

Зауважимо, що вибіркова оцінка (^) - випадкова величина, значення якої може змінюватися від однієї вибірки до іншої. Міру її варіації (розсіювання) навколо математичного очікування параметра генеральної сукупності # характеризує дисперсія ст2(^) .

Нехай в-, і О- - дві незміщені оцінки параметра ^ , тобто М(в") = 6 і М(д,) = в. Дисперсії їхо1(в-) і огф-). з двох0цінокВарто віддати перевагу тій, яка має менше розсіювання навколо оцінюваного параметра. Якщо дисперсія оцінки ^" менша дисперсії

оцінки Вп , то за оцінку & приймається перша, тобто ^" .

Незміщена оцінка ^ , що має найменшу дисперсію серед усіх можливих незміщених оцінок параметра ^, обчислених за вибірками однакового обсягу, називається ефективною оцінкою. Це - друга властивість (вимога) статистичних оцінок параметрів генеральної сукупності. Треба, пам'ятати, що ефективна оцінка параметра генеральної сукупності, підпорядкованої певному закону розподілу, не збігається з ефективною оцінкою параметра другого розподілу.

При розгляді вибірок великого обсягу статистичні оцінки повинні мати властивість спроможності. Оцінка спроможна (застосовується також термін "придатна" чи "узгоджена") означає, що чим більше обсяг вибірки, тим більша ймовірність того, що помилка оцінки не перевищить скільки завгодно малого додатного

числа Е. Оцінка 6 параметра ^ називається спроможною, якщо вона підпорядковується закону великих чисел, тобто виконується така рівність:

/шг|р в-в <Е } = 1.