Розділ «ТЕМА 6. АНАЛІЗ ПОДІБНОСТІ РОЗПОДІЛІВ»

Як бачимо, спроможною називають таку статистичну оцінку, яка при п наближається за ймовірністю до оцінюваного параметра. Іншими словами, це значення показника, одержане за вибіркою і яке наближається (збігається за ймовірністю) внаслідок закону великих чисел при збільшенні обсягу вибірки до свого математичного очікування. Наприклад, якщо дисперсія незміщеної оцінки при п наближається до нуля, то така оцінка виявляється і спроможною, оскільки має найменшу можливу дисперсію (при заданому обсязі вибірки).

Спроможними оцінками є:

1) частка ознаки у вибірковій сукупності, тобто частість як оцінка частки ознаки в генеральній сукупності;

2) вибіркова середня як оцінка генеральної середньої;

3) вибіркова дисперсія як оцінка генеральної дисперсії;

4) вибіркові коефіцієнти асиметрії і ексцесу як оцінка генеральних коефіцієнтів.

У літературі з математичної статистики чомусь не завжди можна зустріти опис четвертої властивості статистичних оцінок -достатність. Оцінка достатня (або вичерпна) - це оцінка, яка зумовлює (забезпечує) повноту обхвату всієї вибіркової інформації про невідомий параметр генеральної сукупності. Таким чином, достатня оцінка включає всю інформацію, яка міститься у вибірці стосовно досліджуваної статистичної характеристики генеральної сукупності. Жодна з розглядуваних раніше трьох оцінок не може дати необхідних додаткових відомостей про досліджуваний параметр, як достатня статистична оцінка.

Отже, середня арифметична вибіркова ~ є незміщеною оцінкою середньої арифметичної генеральної х. Фактор незміщеності цієї оцінки показує: якщо із генеральної сукупності взяти велику кількість випадкових вибірок, то їх середні *< відрізнялись би від генеральної середньої у більший і менший бік однаково, тобто, властивість незміщеності хорошої оцінки також показує, що середнє значення нескінченно великого числа вибіркових середніх дорівнює значенню генеральної середньої.

У симетричних рядах розподілу медіана є незміщеною оцінкою генеральної середньої. А за умови, що чисельність вибіркової сукупності наближається до генеральної (П ~* N), медіана може бути в таких рядах і спроможною оцінкою генеральної середньої.Що ж стосується критерію ефективності відносно медіани як оцінки середньої арифметичної генеральної сукупності, можна довести, що у вибірках великого обсягу середньоквадратична помилка медіани (Стме) дорівнює 1,2533 середньоквадратичної помилки вибіркової середньої

2 ><72

). Тобто Стме *. Тому медіана не може бути ефективною оцінкою середньої арифметичної генеральної сукупності, оскільки її середня квадратична помилка більше середньої квадратичної помилки середньої арифметичної вибірки. До того ж середня арифметична задовольняє умовам незміщеності і спроможності, а, отже, є кращою оцінкою.

Можлива і така постановка. Чи може середня арифметична вибірки бути незміщеною оцінкою медіани в симетричних розподілах сукупності, для якої збігаються значення середньої і медіани? І чи буде вибіркова середня спроможною оцінкою медіани генеральної сукупності? В обох випадках відповідь буде позитивною. Для медіани генеральної сукупності (з симетричним розподілом) середня арифметична вибірки є незміщеною і узгодженою оцінкою.

Пам'ятаючи, що Стме ~ 1,2533стї , приходимо до висновку: середня арифметична вибірки, а не медіана, є більш ефективною оцінкою медіани досліджуваної генеральної сукупності.

Кожна характеристика вибірки не обов'язково є найкращою оцінкою відповідної характеристики генеральної сукупності. Знання властивостей оцінок дозволяє вирішувати питання не тільки вибору оцінок, але й їх поліпшення. Як приклад можна розглянути випадок, коли розрахунки показують, що значення середніх квадратичних відхилень декількох вибірок із однієї генеральної сукупності у всіх випадках виявляються менше середнього квадратичного відхилення генеральної сукупності, причому величина різниці зумовлена обсягом вибірки. Помноживши значення середнього квадратичного відхилення вибірки на поправочний коефіцієнт, одержимо поліпшену оцінку середнього квадратичного відхилення генеральної сукупності. За такий поправочний коефіцієнт використовують поправку Бессела

п а I п

(п -1), тобто для усунення зміщення оцінки одержують 'п -1 .Такий числовий вираз показує, що середнє квадратичне відхилення вибірки, використане як оцінка, дає занижене значення параметра генеральної сукупності.

Як відомо, статистичні характеристики вибіркової сукупності є наближеними оцінками невідомих параметрів генеральної сукупності. Сама оцінка може мати форму одного числа або якої-небудь певної точки. Оцінка, яка визначається одним числом, називається точковою. Так, вибіркова середня (~) є незміщеною і найбільш ефективною точковою оцінкою генеральної середньої (х), а вибіркова дисперсія ) - зміщеною точковою оцінкою генеральної

а2

дисперсії ( ) .Якщо позначити середню помилку вибіркової середньої т<> , то точкову оцінку генеральної середньої можна записати у вигляді х±т° . Це означає, що ~ - оцінка генеральної середньої х з помилкою, яка дорівнює т" . Зрозуміло, що точкові статистичні оцінки х і o не повинні мати систематичної помилки в

o o o ~~ o <у2