Розділ «3.2. ВИПАДКОВІ ВЕЛИЧИНИ»

Рис. 3.28. Таблиця і гістограма розподілу з М[Х]=4,00 і £>[Х]=2,32

Пропонуємо порівняти таблиці і графіки рис. 3.27 і 3.28 і зробити висновки. Властивості дисперсії випадкової величини, які постійно використовуються у ймовірносно-статистичних методах:

o якщо x - випадкова величина, а і Ь - деякі числа, У = ах+Ь, то

D[ax+b] = a2D[X] (3.31)

(це значить, що число а як параметр масштабу суттєво впливає на дисперсію, тоді як число b - параметр зсуву на значення дисперсії не впливає);

o якщо X1, X2, Xn - попарно незалежні випадкові величини (тобто Xt і X незалежні для i Ф j ), то дисперсія суми дорівнює сумі дисперсій

D[X1 + X2 + ... + Xn] = D[X1] + D[X2] + ...+D[Xn]. (3.32)

Співвідношення щодо математичного сподівання (3.25) і дисперсії (3.32) мають важливе значення при вивченні вибіркових властивостей, оскільки результати вибіркових спостережень або вимірів розглядаються в математичній статистиці, як реалізації незалежних випадкових величин.

З дисперсією випадкової величини тісно зв'язаний ще один показник мінливості - стандартне відхилення.

Означення. Стандартним відхиленням випадкової величини x називається невід'ємне число

SD[ X ] = +VD[X]. (3.33)

Отже, стандартне відхиленнях однозначно зв'язано з дисперсією.

У теорії та практиці статистичних досліджень також важливу роль відіграють спеціальні функції - так звані моменти (початкові і центральні), які є характеристиками випадкових величин.

Означення. Початковим моментом k-то порядку випадкової величини x називається математичне сподівання k-ї степені цієї величини:

~k = M[ Xk ].15 (3.34)

Означення. Центральним моментом k-то порядку випадкової величини x називається математичне сподівання k-ї степені відхилення цієї величини x від його математичного сподівання:

m = m[x - M(X)Y, (3.35)

або mk = M[X - a]k, де a = M[X].

Для позначення мометнів випадкових величин використовуємо ті ж самі літери, що і для мометнів варіаційного ряду, але з додатковим знаком ~ ("тільда").

Формули для обчислення моментів дискретних (які приймають значення Хі з імовірністю р,) і неперервних (зі щільністю ймовірності /х)) випадкових