Розділ «3.4. ТЕОРЕТИЧНІ РОЗПОДІЛИ ВИПАДКОВИХ ВЕЛИЧИН»

Зміст класичних законів великих чисел полягає в тому, що вибіркове середнє арифметичне незалежних однаково розподілених випадкових величин наближається (сходиться ) до математичного сподівання цих величин. Іншими словами, вибіркові середні сходяться до теоретичного середнього.

Біноміальний розподіл

Нормальний розподіл

Роботи Я. Бернуллі, а також приватні дослідження інших математиків XVII-XVIII ст. з Європи згодом оформилися в теорію ймовірності. У початковий період розвитку основною проблемою даної теорії було визначення ймовірності складної події при нагоді певної кількості незалежних появ на зразок розглянутих вище випробувань з підкиданням монет. Формула для таких завдань була визначена, проте для великих обсягів (наприклад, обчислити ймовірність того, що при 20 000 підкидань монети випадуть 5000 або більше "гербів") такі обчислення виглядали дуже громіздкими.

На початку XVIII ст. де Муавру (1667-1754) вдалося апроксимувати біноміальний розподіл за допомогою формули

f (x) = -)= ехрі- (3.57)

де fx) - ймовірність; fi і а - середнє і стандартне відхилення. Функція fx) отримала назву щільності нормального розподілу.

Функція нормального розподілу визначається через щільність

ф( x) =| f (t)dt. (3.58)

-сс

MS Excel містить функцію =НОРМРАСП(х; /г; а; І), яка повертає значення або функції Ф(х), або функції щільності fx) для заданих fi і а. Параметр І визначає форму функції: якщо 1=0, =НОРМРАСП() повертає значення Ф(х), інакше fx). На рис. 3.42 приведено формули розрахунку розподілів з використанням функцій MS Excel =БИНОМРАСП() і =НОРМРАСП().

Рис. 3.42. Формули розрахунку розподілів (п = 6;р = 0,5; ¡1 = 3; а = 1,22)

На рис. 3.43 і 3.44 представлено результати розрахунку щільності біноміального і нормального розподілів і відповідні графіки для двох наборів параметрів: перший (п = 6;р = 0,5; /г = 3; а = 1,22) і другий (п = 10;р = 0,5; /г = 5 і а = 1,58). Значення/г і а отримано з біноміального розподілу.

Рис. 3.43. Біноміальний і нормальний розподіли (п = 6;р = 0,5; ¡1 = 3; а =1,22)

Порівнюючи графіки кривих біноміального і нормального розподілів, можна констатувати, що функція нормального розподілу цілком задовільно апроксимує функцію біноміального розподілу. Більш того, із збільшенням обсягу вибірки п відхилення значень нормального і біноміального розподілів ХЬ(х)-Дх)| /п зменшується (для п = 6 складає 0,54% ; для п = 10 - 0,24%).

Рис. 3.44. Біноміальний і нормальний розподіли (п =10;р = 0,5; /г=5; а = 1,58)

Універсальність функції щільності нормального розподілу полягає в тому, що вона використовує у якості своїх аргументів одні з основних характеристик сукупностей - середнє р і стандартне відхилення а, а також "працює" і для дискретних, і для неперервних величин.

Формула щільності нормального розподілу (3.56) задає лише деяку типову форму графіка у вигляді симетричного "дзвону", відомого під назвою нормальної кривої. Міняючи значення /г і а, можна зрушувати конкретну нормальну криву вздовж числової осі ординат і міняти її розмах .

На рис. 3.45 графіки нормальних розподілів побудовано для сукупностей, які мають різні середні /г і різні стандартні відхилення а. Пропонуємо проаналізувати схожість і різницю цих розподілів щільності.