Розділ «3. ОСНОВИ ТЕОРІЇ ЙМОВІРНОСТЕЙ»

Основним завданням математичної статистики є опис і пояснення імовірнісної поведінки об'єктів досліджень. Математична статистика вирішує це завдання вивченням генеральної сукупності за допомогою вибіркової сукупності - вибірки. Досліджуючи ту чи іншу вибірку, мають на увазі її випадкову (імовірнісну) природу, тобто вибірку розглядають як сукупність випадкових значень, що характеризує певні властивості генеральної сукупності. Для отримання випадкових значень організують випробування (іспити, спостереження тощо) при певних (відомих) умовах. Отже, оцінюючи генеральну сукупність за допомогою вибірки за її імовірнісними властивостями, ми постійно маємо справу із сукупністю набутих значень випадкових подій, отриманих у результаті випробовувань.

Враховуючи те, що властивості випадкових подій вивчає теорія ймовірностей, яка вважається теоретичною базою статистичних досліджень, розглянемо основні поняття і закономірності цієї галузі математичних знань.

Нагадаємо, що сукупність отриманих у випробуваннях емпіричних значень випадкової величини також називають вибіркою, яка підлягає статистичній обробці. Слово "емпірична" означає те, що статистичні обчислення проводяться за даними випробувань (дослідів або спостережень). З цієї ж причини для поняття "сукупність вибіркових значень" використовують термін "вибіркова функція" розподілу. Наприклад, у результаті повторних вимірювань деякої величини отримано п значень: х/, х2, ... хп. Ці значення природно вважати реалізацією набору з п незалежних однаково розподілених випадкових величин з невідомою функцією розподілу Р(х), властивості якої необхідно визначити, знайти.

Щоб оцінки були вірогідними, вибірка має бути представницькою (репрезентативною). її імовірнісні властивості повинні збігатися або бути близькими до властивостей генеральної сукупності. Це можна досягти, якщо гарантувати всім об'єктам генеральної сукупності однакову ймовірність потрапити у вибірку.

3.1. ВИПРОБУВАННЯ ТА ПОДІЇ

Основні поняття і означення

Операції над подіями

Основні операції над подіями можна продемонструвати прикладами алгебри подій - алгебри Буля - у вигляді діаграм Венна (рис. 3.1).

Рис. 3.1. Операції над подіями

З математичної точки зору події розглядаються як підмножини (А, В, С, ...) множини О елементарних подій ю. Отже, простір елементарних подій - це деяка множина О, а елементарні події - це її елементи ю.

Операції над подіями можна розглядати як операції над відповідними під-множинами, наприклад, підмножиною А і підмножиною В повної множини О елементарних подій ю.

Якщо в результаті випробувань відбувається елементарна подія ю, яка належить множині А, то стверджується, що подія А також відбулася.

Розглянемо основні операції над подіями з точки зору теорії множин.

Приклад 3.1. Задано простір елементарних подій (множина О) як сукупність натуральних чисел {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. У результаті випробувань зафіксовано низку подій. Події А, В, С, В і ¥ як підмножини множини О включали такі елементи: Л={2,3}; В={2,3,4,5}; С={3,4,5,6}, В={6,7,8,9} і ¥={2,3,4,5}. З'ясувати властивості основних операції алгебри подій.

Рішення:

а) за умовами прикладу всі елементи підмножини Б={2,3,4,5} належать до множини ^={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. За аналогією до операцій над множинами це значить, що і відповідна подія б належить до простору подій О, тобто б <ео. (рис. 3.1а);

б) усі елементи підмножини ^4={2,3} належать до підмножини Б={2,3,4,5}, тому у разі появу події а відбуватиметься і подія Б. У цій ситуації можна стверджувати, що у разі здійснення подія а спричинює появу події Б. Таку операцію називають "слідування" і записують як а с б (рис. 3.16);

в) підмножини ¥ і б складаються з однакових елементів: Б={2,3,4,5} і ¥={2,3,4,5}. Це значить, що подія б завжди спричинює появу події ¥, тобто б с ¥. У свою чергу подія ¥ спричинює появу події Б, тобто ¥ с б . Отже, події ¥ і б еквівалентні. еквівалентність подій записують як ¥=Б (рис. 3.1в);

г) подія В, яка відбувається, коли не відбувається подія В, називається протилежною події В. Протилежність події В визначається як доповнення підмножини Б, тобто б = О В = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} {2,3,4,5}={1, 6, 7, 8, 9}. Звідси В = {1, 6, 7, 8, 9} (зафарбована площа на рис. 3.1г);