Розділ «5.3. ПЕРЕВІРКА ОДНОРІДНОСТІ ВИБІРОК»

У дослідженнях з педагогіки чи психології часто виникає необхідність з'ясувати, чи розрізняються генеральні сукупності, з яких узято вибірки. Наприклад, чи відрізняються між собою експериментальна і контрольна група учнів за результатами тестування навчальних досягнень. Методи перевірки статистичних гіпотез про однорідність вибірок можуть бути реалізовані на основі параметричних і непараметричних критеріїв для незалежних (незв'язаних) і залежних (зв'язаних) вибірок. Отже, гіпотези про однорідність вибірок - це гіпотези про схожість або відмінність двох і більше вибірок.

Для варіанту незалежних вибірок постановка математико-статистичної задачі виглядає так: дві вибірки обсягом п1 і п2 взято випадковим методом з двох генеральних сукупностей, неперервні функції розподілу яких Р1(х) і Р2(х) є невідомими. Потрібно перевірити їхню однорідність (неоднорідність). Нульова й альтернативна гіпотези мають вигляд:

Но: Р1(х) = Р2(х); Яі: Р1(х) Ф Р2(х).

В математиці розроблено декілька методів (критеріїв) перевірки однорідності двох незалежних вибірок. Проте з точки зору прикладної статистики у дослідника нерідко виникає проблема оптимального вибору критерію перевірки однорідності. Тому розглянемо і проаналізуємо особливості та можливості використання декількох критеріїв.

Критерій Стьюдента t

Критерій Крамера-Велча T

Критерій Крамера-Велча Т побудований на підході оцінювання рівності математичних очікувань генеральних сукупностей, звідки взято вибірки. Статистика критерію має вигляд:

-у/п1п2 (х 1 " х2)

=і 2 2 , (5.11)

^ 1 + п2 52

де невідомі дисперсії замінені їхніми вибірковими оцінками. Більш того, при рості обсягів вибірок розподіл статистики Т Крамера-Велча збігається до стандартного нормального розподілу з математичним очікуванням 0 і дисперсією 1,00. З асимптотической нормальності статистики Т правило ухвалення рішення для критерію Крамера-Велча виглядає так: якщо Тем"< г(1-а/2), то гіпотеза однорідності (рівності математичних очікувань) приймається на рівні значущості а. У прикладній статистиці найбільше часто застосовується рівень значущості 0,05. Тоді значення модуля статистики Т Крамера-Велча треба порівнювати із критичним значенням гкр=1,96.

Приклад 5.6. Зробити статистичні висновки на рівні значущості 0,05 щодо однорідності двох вибірок за критерієм Крамера-Велча (емпіричні дані взято з попереднього прикладу 5.5).

Послідовність рішення:

o Розрахунки емпіричного критерію показано на рис. 5.16 і 5.17. Емпіричне значення критерію Тем" можна оцінити з елементарних розрахунків:

Т _ V18 o 20(4,72 - 3,90) ^ 177 718 -1,98 + 20 o 2,09 ~ ' .

o Критичне значення Ткр для рівня значущості 0,05 отримаємо за допомогою функції =НОРМСТОБР(1-0,05/2), яка повертає значення 1,96.

o Прийняття рішення. Оскільки Темп< г0о05 (1,77<1,96), нульова гіпотеза Н0 приймається на рівні значущості 0,05.

o Формулювання висновків. На рівні значущості 0,05 відсутні підстави стверджувати про неоднорідність незалежних вибірок.

Серед психолого-педагогічних завдань нерідко інтерес становить не перевірка рівності математичних очікувань або інших параметрів розподілу, а виявлення будь-яких розходжень генеральних сукупностей, з яких витягнуті вибірки. Але методи, що засновані на використанні статистик Стьюдента і і Крамера-Велча Т, не дозволяють перевіряти гіпотезу Н0 щодо розходжень сукупностей. Тому варто використовувати непараметричні методи (наприклад, Колмогорова-Смірнова, Вілкоксона-Манна-Вітні, Лемана-Розенблатта та ін.), для яких не є обов'язковими припущення приналежності розподілу результатів спостережень певному параметричному сімейству.