Розділ «3.2. ВИПАДКОВІ ВЕЛИЧИНИ»

Значення процентиля для нормального розподілу можна отримати за допомогою функції MS Excel =НОРМОБР(ймовірність; середнє; ст.відхилення). Так, ^5 = НОРМОБР(0,05;100;15) = 75,3; а Р20 = НОРМОБР(0,20;100;15) = 87,4.

Характеристики випадкових величин

Випадкову величину X можна повноцінно характеризувати функцією розподілу подій сс>і, (функція визначена на просторі елементарних подій £2). Функція розподілу у вигляді гістограми (для дискретної змінної) або функції щільності (для неперервної змінної) дає вичерпну інформацію щодо закону розподілу випадкової величини. Проте спостерігаються завжди тільки значення цієї функції, які є реалізацією випадкової величини у конкретній ситуації. Сама ж функція розподілу є лише теоретичним узагальненням, яке служить основою для побудови імовірнісних моделей вивчення реальності.

Результати випробувань, як правило, моделюються незалежними випадковими величинами. Часто вважають, що спостереження, іспити, досліди проводяться за схемою незалежних іспитів. Отже, незалежність випадкових величин - одне з базових понять теорії ймовірностей, що лежить в основі практично всіх ймовірносно-статистичних методів. Тому слід мати на увазі деякі важливі властивості незалежних випадкових величин:

o випадкові величини X і У, визначені на тому ж самому просторі елементарних подій, називаються незалежними, якщо для будь-яких чисел а і Ь події {Х=а} і {У=Ь} є незалежними;

o якщо випадкові величини X і У незалежні, а і Ь - деякі числа, то випадкові величини Х+а і У+Ь також незалежні;

o якщо випадкові величини X і У незалежні, аЛ(Х) і g(У) - випадкові величини, отримані з X і У за допомогою деяких функцій/і g, то Л(Х і <?(У - також незалежні випадкові величини. Наприклад, якщо X і У незалежні, то X 2 і 3-У +4 незалежні, а також ln(X ) і 1п(У) незалежні.

У практиці досліджування генеральної сукупності цілком достатнім є отримання декількох чисельних характеристик, що оцінюють центр групування значень випадкової величини, міру їхнього розсіяння, ступінь взаємозв'язку різних компонентів багатомірної ознаки. У свою чергу, знаючи лише характер статистичних законів, розподіл може бути успішно відновлено за своїми чисельними характеристиками, наприклад, за середніми значеннями, дисперсією. Тож доцільно розглянути основні характеристики випадкової величини X, що дають змогу чисельно оцінити так звані показники "центральної тенденції" (математичне сподіванняM[X], моду Mo[X] і медіану Md[X), а також "варіативності" (дисперсія D[X], стандартне відхилення 5D[X]) .

Математичне сподівання

Дисперсія випадкової величини

Математичне сподівання показує, навколо якої чисельної міри групуються значення випадкової величини. Проте, необхідно також мати можливість вимірювати мінливість (варіативність) випадкової величини щодо математичного сподівання. Таким показником мінливості є математичне сподівання квадрату різниці між випадковою величиною та її математичним сподіванням, а саме M[(X - М[Х])2 ].

Означення. дисперсією випадкової величини x називається число14 DX] = M[(X-M[X])2], (3.30)

або DX] = ±f(xt) o(*, - M[X])2.

На рис.3.26 наведено формули для розрахунку розподілу - статистичної ймовірності fx;) - а також показників: математичного сподівання М[Х] (комірка Е9) і дисперсії D[X] (комірка G9).

14 Пропонуємо порівняти це означення з означенням вибіркової дисперсії

s2.

Рис. 3.26. Формули розрахунку м[х] і 0[Х] У таблиці рис.3.27 показано результати розрахунку математичного сподівання м[х] і дисперсії 0[Х] за даними приклада 3.14, а також гістограму розподілу м[х] = 4,00 (комірка Е9) і дисперсія 0[Х] = 1,00 (комірка в9).

Математичне сподівання показує, що значення випадкової величини x групуються біля значення 4,00, кількість яких становить 50% від загальної кількості. Проте, навколо такого ж значення можуть групуватися й інші дані.

Рис. 3.27. Таблиця і гістограма розподілу з А/[Х]=4,00 і £>[Х]=1,00

З рис.3.28 видно, що для математичного сподіванням[х] = 4,00 дисперсія £>[Х] = 2,32 є удвічі більшою, ніж за даними рис. 3.27. Про значну мінливість свідчить й відповідна гістограма.