Розділ «3.2. ВИПАДКОВІ ВЕЛИЧИНИ»

Для х = +со функція розподілу ¥(со)=1, тобто

і (со) = / (х)^х = 1. (3.20)

-ОС

Отже, порівнюючи алгебру випадкових подій з математичним апаратом випадкової величини, можна дійти до висновку про те, що розподіли випадкових величин ізоморфно відтворюються на розподілах випадкових подій.

Розглянемо приклад розподілу неперервної випадкової величини.

Приклад 3.12. Як відомо з психодіагностики, коефіцієнт інтелекту О (показник інтелектуального розвитку сукупності однакових за віком осіб) розподіляється за законом, близьким до нормального12, щільність розподілу якого визначається формулою:

гґ 1 -0,5((х-1в)/<7)2гг, . 1 | (х - І02 і

де /(х) - ймовірність Р(І<2 = х) того, що ї<2 прийме значення х; І<2 і а -середнє арифметичне і стандартне відхилення генеральної сукупності; % ~ 3,14; е ~ 2,71. Для певного контингенту індивідуумів середнє значення 1<2=100 і а =15.

Завдання: Побудувати розподіл коефіцієнта інтелекту І£) в діапазоні значень від І<2МІН = 50 до І(2макс = 150. Визначити ймовірності того, що І(2 прийматиме значення: а) І£) < 80; б) Щ > 110; в) у межах 70 < І£) < 90; г) прийматиме значення поза межами інтервалу 80 < Щ < 120.

Рішення:

Розрахуємо значення щільності/(х) нормального розподілу і розподіл і(х) у табличній формі в указаному діапазоні з інтервалом 10 (рис. 3.10). Деталі розрахунку розглянемо пізніше у відповідному розділі. Важливим моментом є досягнення так званої нормалізації, за умови якої площа під кривою щільності розподілу /(х) повинна дорівнювати одиниці. Як бачимо з комірки С14 рис. 3.10, ця вимога виконується.

Побудуємо відповідні графіки розподілу І£) (рис. 3.13). Форма графіка щільності /(ІО) має вигляд "дзвону". Вона є симетричною відносно середнього значення ІО=100. Графік розподіл досягає насичення на рівні 1,00.

12 Докладніше щодо нормального закону розподілу див. розділ 3.4.

Слід звернути увагу на те, що ймовірність Р(/£> < 100) = 0,50. Інакше кажучи, ймовірність отримати значення 12 на рівні не більше середнього значення ї<2=100 складає 50%. На рис. 3.13 це відповідає зафарбованій площі, яка складає 50% від загальної. Аналітично це можна записати так:

100

Р (х < 100) = | / (х)Сх = 0,50.

-сс

Розглянемо пункти завдання щодо визначення ймовірності отримання конкретних значень коефіцієнта інтелекту

а) Визначити ймовірність того, що 12 прийматиме значення не більше 80, тобто Р(ї<2 < 80). Цій ситуації відповідає зафарбована площа рис. 3.14, для якої Р(80) ~ 0,091 (значення 0,091 можна отримати з табл. рис. 3.12). Аналітичний запис має вигляд:

80