Розділ «6.4. Прийоми статистичного опрацювання експериментальних даних»

де 2 - довірчий коефіцієнт, що визначається за заданою довірчою вірогідністю Р (0,95; 0,99; 0,999 та ін.) за допомогою таблиць інтегралу вірогідностей (таблиця Додатку А.1).

У відповідності з нульовою гіпотезою, очікуване значення різниці емпіричних частот а = /1 - /2 дорівнює нулю. Середня квадратична помилка аа величини а, відповідно до теореми про дисперсію суми, визначається за формулою

При більшому числі спостережень п розподіл різниці частот а = /1 - /2 близьке до нормального, а ай ~ оа . У цьому випадку для розв'язання завдання знаходять нормоване відхилення величини а

а потім за таблицею Додатку А.1 визначаємо вірогідність Р, відповідну знайденому значенню 2. Якщо величина р =1 - Р достатньо мала, нульова гіпотеза відхиляється і відмінності між відносними частотами, отриманими в двох серіях спостережень, вважаються істотними.

Приклад. При навчанні за методикою і засвоїли навчальний матеріал 68 учнів із 105, а при навчанні за методикою ІІ - 4 учні із 72. Необхідно визначити, чи є різниця в процентному числі учнів, що засвоїли навчальний матеріал випадковою або вона пояснюється більшою ефективністю методики І.

1. Визначаємо відносні частоти учнів, що засвоїли навчальний матеріал за методиками І та ІІ й різницю відносних частот а = /1 - /2 :

2. Знаходимо вибіркове значення середньої квадратичної помилки різниці

3. Обчислюємо нормоване відхилення | сі | / ай та за таблицею Додатку В.1 знаходимо відповідну йому вірогідність Р:

Через те що величина р = 1 - Р складає тільки 0,02 (2 %), відмінність в відносних частотах слід визнати істотною. Відповідно, методика І є більш ефективною, ніж методика ІІ.

При малому числі спостережень п розподіл величини ґ = | а | / аа значно відрізняється від нормального. Ця величина підкоряється закону розподілу Стьюдента з п1 + п2 - 2 ступенями вільності. Визначивши величину ґ за даними спостережень та обчисливши п = п1 + п2 - 2, за таблицею Додатку В.2 знаходимо вірогідність р того, що дослідне значення ґ повинно бути не меншим отриманого. Якщо ця вірогідність мала, відмінність між відносними частотами /1 та /2 є істотною.

Приклад. При спостереженні за 16 учнями експериментального класу, яких навчають за новою методикою, і за 14 учнями контрольного класу, що навчаються в звичайних умовах, в першій групі виявлено 3, а в другій - 8 невстигаючих учнів. Необхідно оцінити, чи можуть вважатися відмінності між невисокими показниками успішності окремих учнів в експериментальному і контрольному класах випадковими.

1. Визначаємо відносні частоти невстигаючих учнів в експериментальному і контрольному класах та різницю частот

2. Знаходимо вибіркове значення середньої квадратичної помилки а

3. Оскільки число об'єктів в кожній групі невелике, оцінку значущості різниці відносних частот здійснюємо за допомогою розподілу Стьюдента:

За таблицею Додатку А.2 для ґ =2,26 при п'= п1 + п2 - 2 = 28 знаходимо: р я 0,04. Ця вірогідність занадто мала. Це дає підстави стверджувати про те, що традиційні умови навчання збільшують кількість невстигаючих учнів.

Для порівняння сукупностей при малих вибірках застосовується критерій згоди Пірсона (%г ).Суть застосування цього критерію полягає в наступному.

Нехай у процесі дослідження були одержані такі результати (табл. 6.6).

Таблиця 6.6. Експериментальні показники дослідження

Формулюємо нуль-гіпотезу ®,= <92= со. Оцінкою величин юбуде:

Для цієї частки со' теоретичні частоти, що відповідають результатам спостережень, матимуть такі значення (табл. 6.7).