Розділ «ТЕМА 6. АНАЛІЗ ПОДІБНОСТІ РОЗПОДІЛІВ»

... . Д-) .

де і) - число ступенів вільності, яке дорівнює п-1 ; 2- гама-функція,

зокрема Г(п+1)=п.

Як видно з наведеного вище виразу, розподіл "хі - квадрат" визначається одним параметром - числом ступенів вільності.

Для різних обсягів вибірки (точніше - значень числа ступенів вільності) розподіл величини "хі - квадрат" буде асиметричним. При цьому, чим менша вибірка, тим сильніше проявляється асиметрія. Із збільшенням чисельності вибіркової сукупності асиметрія зменшується і розподіл "хі - квадрат" переходить у нормальний. Наочно характер такої зміни ілюструє графік (рис. 18).

рис. 18. гозподіл ("хі - квадрат" при різних значеннях числа ступенів вільності

Якщо прийняти рід емпіричних і теоретичних частот відповідно за п- і Пп, обчислення "хі - квадрат" - критерію виразиться формулою:

Судячи по параметрах формули, величина критерію Пірсона являє собою суму відношень між квадратами різниць емпіричних і теоретичних частот до теоретичних частот.

Інтегрування диференціальної функції розподілу (за її складності) являє певні обчислювальні утруднення. У зв'язку з цим Р.Фішером розроблено стандартні математичні таблиці розподілу "хі - квадрат" (додатки 6, 7). Ці таблиці дають змогу обчислити ймовірність того, що випадкова величина, яка підпорядковується закону розподілу "хі - квадрат" з певним числом ступенів вільності,

перевищить деяке фіксоване значення х* , або р(х

Другий аспект використання названих стандартних таблиць полягає у тому, що за їх допомогою можна встановити критичне значення "хі - квадрата", перевищення якого для відомого числа ступенів вільності буде свідчити про невідповідність досліджуваного розподілу нормальному закону. Є й інші аспекти практичного використання "хі - квадрат" - критерію. Розглянемо лише приклад для випадку встановлення ймовірності р(х

Для вибірки з числом ступенів вільності і) =21, що підпорядковується

закону "хі - квадрат" розподілу (% ) необхідно визначити відхилення Я*, імовірність перевищення якого дорівнює 0,05, тобто необхідно знайти "хі -

квадрат" при і) = 21, для якого: ^21)=0,05. Шукана величина буде

знаходитись (додаток 7) на перетині рядка 21 і графи 0,95 і становитиме Ху =

32,7. Звідси маємо:р(%2>32,7) = 0,05.

2

Таким чином, величина %у, імовірність перевищення якої 0,05, буде 32,7

Слід відзначити деякі неточності, що існують у навчальній літературі при викладі питань "хі - квадрат - критерію". Відносно його відкриття, крім дати 1900 р. (Пірсон), слід пам'ятати і дату 1876 р. (Хельмерт).

2