Розділ «3. ОСНОВИ ТЕОРІЇ ЙМОВІРНОСТЕЙ»

При застосуванні методів теорії ймовірностей і математичної статистики використовується поняття незалежності подій. Події А, В, С, ... є незалежними, якщо ймовірність їхнього спільного здійснення дорівнює добуткові ймовірностей здійснення кожної з них окремо: Р(АР^С) = Р(А)-Р(ВуР(С)... .

Згідно з цим означенням здійснення або нездійснення однієї незалежної події не повинне впливати на здійснення або нездійснення іншої. Наприклад, у випробуваннях при незалежному підкиданні двох монет простір елементарних подій складається з чотирьох елементів: ГГ, ГЦ, ЦГ, ЦЦ (позначення елементарних подій: ГГ - для першої монети випав герб і для другої - теж герб; ЦГ - для першої - цифра, для другої - герб і т.д.). Оскільки події типу "Г - для першої монети випав герб" і "Г - для другої монети випав герб" є незалежними за визначенням незалежних випробувань, і ймовірність кожного з них дорівнює 4, то ймовірність події ГГ дорівнює 4 - 4 = А. Аналогічно ймовірність кожного з інших елементарних подій також дорівнює А. Звідси сума ймовірностей всіх чотирьох елементарних подій дорівнюватиме одиниці.

Умовна ймовірність

Якщо подія А відбувається у випробувані, яке обмежене додатковими умовами здійснення події В, то міра можливості події А визначається умовною ймовірністю р(а | Б). Отже, умовною ймовірністю Р(а | Б) називається ймовірність події А, обчислена за умови, що подія В вже відбулася.

Умовна ймовірність має сенс для залежних подій. Для незалежних подій А і В умовна ймовірність перетворюється на звичайну:

Р(а | Б) = Р(А), або Р(Б | А) = Р(Б).

Отже незалежні події (за означенням) не змінюють ймовірності появи іншої.

Ймовірність добутку залежних подій А і В визначається за формулою:

р(А ■ В) = Р(а | Б) o Р(Б). (3.5)

Умовна ймовірність Р^В) як ймовірність здійснення події А за умови, що подія В відбулася, тобто р(В) > 0, визначається з (3.5):

Р(а | Б) = Р(а'в) . (3.6)

^ і > р(б) ^ >

Для незалежних подій формула спрощується і приймає вже відомий вигляд:

Р( А ■ В) = Р( А) o Р( В).

Приклад 3.4. В академічній групі 15 хлопців і 10 дівчат. Яка ймовірність того, що двоє навмання і підряд вибраних студентів виявляться дівчатами?

Рішення: Загальна бажана подія А (вибір навмання двох студентів-дівчат) складається з добутку двох подій: В1 (випадковий вибір однієї дівчини) і _82 (випадковий вибір ще однієї дівчини), тобто Р(А) = Р(В1 o В2). Ймовірність події В1 - Р(В1). Настання події _82 відбувається після події В1 і оцінюється умовною ймовірністю Р(В2 | В1). Ймовірність добутку залежних подій В1 і _82 дорівнює: Р(В1 o В2) = Р(В1) o Р(В2 | В1).

Ймовірність події В1 визначається як відношення кількості дівчат (10) до

загальної кількості студентів (10+15), тобто Р(В1) = = 0,4.

Настання події В1 змінює умови для оцінки ймовірності події _82, а саме: зменшується і кількість дівчат (10-1)=9, і загальна кількість студентів (9+15)=24. Тоді ймовірність події _82 як відношення кількості дівчат (9) до за-

9