Розділ «3. ОСНОВИ ТЕОРІЇ ЙМОВІРНОСТЕЙ»

Тоді будь-яку числову функцію Р(А), визначену на скінченій множині Сі={ю}, яка є простором елементарних подій ю, називають імовірністю, якщо виконуються три умови (аксіоми Колмогорова):

1) Р(А) >0 для будь-якої А є О.;

2) ДП)=1;

3) Р(А1 уА2иА3 и...) = Р(А2)+ Р(А3)+... для попарно несумісних випадкових подій (Аір| Ах = 0, і Ф _)).

Отже, сконструйовано математичний об'єкт, який можна застосовувати при побудові імовірнісних моделей. Наприклад, випробуванням з підкиданням монети відповідає імовірнісний простір {Сі, Р}, де О = {ГД,} - множина елементарних подій; Р(Г) = Р(Ц) = 4 - ймовірності елементарних подій; позначення елементарних подій: Г - "випав герб", Ц - "випала цифра".

Аксіоматичне означення ймовірності Р(А) погодиться з інтуїтивним, згідно з яким ймовірність події А - це число від 0 до 1, що є збігом частоти реалізації події А при необмеженому числі повторень і постійних умовах випробувань.

З визначення імовірності події, а також умов (3.3) і (3.4) випливають інші властивості ймовірностей:

4) Для будь-якої події А ймовірність протилежної події Р(А) = 1 - Р(А).

5) Сума ймовірностей протилежних подій дорівнює одиниці:

Р( А) + Р( А) = 1.

6) Ймовірність достовірної події Р(СІ) = 1 (за аксіомою 2).

7) Ймовірність неможливої події Р(О.) = 1 - Р(С£) = 1 - 1 = 0.

8) Ймовірність добутку АР сумісних подій А і В: Р(А ■ В) = Р(А) ■ Р(Б). З діаграми рис. 3.2а видно, що сумісні події А і Б мають загальну (сумісну) площу подій (зафарбована площа), тому ймовірність добутку сумісних подій Р(АР )> 0.

9) Ймовірність суми А+В сумісних подій А і В визначається формулою: Р(А + В) = Р(А) + Р(В)-Р(А■ В), де Р(А■ В)- ймовірність добутку подій А і В. З діаграми рис. 3.26 видно, що події А і В мають сумісну площу подій, яка менша за суму окремо взятих подій А і В на величину добутку АР подій А і В. Відповідно ймовірність суми сумісних подій Р(В+С) < Р(В)+ Р(С ).

Рис. 3.2. Ймовірності добутку і суми сумісних подій А і В

10) Ймовірність добутку АР несумісних подій А і В дорівнює нулю. З діаграми рис. 3.3а видно, що несумісні події А і В не мають спільної площі, перетин відповідних підмножин є порожня множина 0 подій, тому ймовірність добутку несумісних подій Р(АР) = 0.

11) Ймовірність суми А+В несумісних подій А і В визначається спрощеною формулою: Р(А+&) = Р(А) + Р(В). З діаграми рис. 3.36 видно, що події А і В не мають спільної площі подій, яка б зменшувала загальну суму окремо взятих подій В і С.

Рис. 3.3. Ймовірності добутку і суми несумісних подій А і В

12) Сума ймовірностей всіх несумісних подій {А1, ^42, Ап}, що утворюють повну групу, дорівнює одиниці

Р(АЛ + Р(А2) +, + Р(Ап) = 1 або £Р(А) = 1.