Розділ «3. ОСНОВИ ТЕОРІЇ ЙМОВІРНОСТЕЙ»

ґ) добуток В-С подій В і С - це подія, що полягає в спільній появі і події В, і події С. Добуток подій визначається перетином відповідних множин В і С: БП С = {2,3,4,5} Г| {5,6,7,8}={5}. Добуток подій В-С має місце, коли деякі підмножини елементарних подій належать як множині В, так і множині С (рис. 3.1г). У прикладі спільною підмножиною є елементарна подія ю ={5};

д) сума В+С подій В і С - це подія, що полягає в появі хоча б однієї з подій або В, або С. Сума подій визначається операцією об'єднання відповідних множин В і С: Б и С = {2,3,4,5} и {5,6,7,8}={2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}. Отже сума подій В+С має місце, коли відбувається хоча б одна якась елементарна подія ю з підмножини {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} (див. рис. 3.1д);

Добуток подій В-С і сума подій В+С, визначених вище за аналогією операцій теорії множин (рис. 3.1 ґ, д ), мають місце для так званих сумісних подій B і C, які можуть відбуватися разом. Проте події, які в результаті випробовувань не можуть відбутися одночасно, є несумісними. Операції добутку несумісних подій B-D і суми цих подій B+D продемонстровано на рис. 3.1е, є;

е) за умовами прикладу добуток несумісних подій B-D визначається перетином відповідних множин В і D: B Г| D = {2,3,4,5} Г| {6,7,8,9}={}=0. В результаті отримаємо так звану порожню підмножину 0, якій відповідає неможлива подія. Як бачимо з рис. 3.1е, підмножини В і D не мають спільних елементів - вони несумісні. Отже добуток несумісних подій В-С є неможливою подією;

є) сума В +D несумісних подій В і D визначається об'єднанням відповідних множин В і D: B U D = {2,3,4,5} ЦІ {6,7,8,9}={2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Сума несумісних подій включає всі елементарні події кожної окремої події (рис. 3.1 є).

Таким чином, операції над подіями можна розглядати як операції над відповідними підмножинами. Алгебра подій ізоморфно відтворюється на алгебрі множин. Однак у теорії ймовірностей для позначення власних понять використовуються свої терміни, які дещо відрізняються від термінів теорії множин. Відповідність між термінологічними рядами цих двох математичних дисциплін можна представити за допомогою табл. 3.1.

Таблиця 3.1

Відповідність термінів теорії ймовірностей і теорії множин

Ймовірність подій

Випадкову подію можна передбачити лише з деякою ймовірністю.

Ймовірність події - це чисельна міра об'єктивної можливості цієї події (інтуїтивне означення ймовірності). Ймовірність події А позначається Р(А). Якщо здійснювати різноманітні випробування, то можна констатувати, що різні випадкові події можуть мати різну можливість появи.

Ймовірність неможливої події и дорівнює нулю, Р(Ц) = 0.

Ймовірність достовірної події V дорівнює одиниці, Р(У) = 1.

Отже, ймовірність Р(А) будь-якої випадкової події А знаходиться між нулем і одиницею: 0<Р(А) <1.

Інколи події можна вважати рівноможливими, якщо за умовами випробувань відсутні підстави вважати деякі з них більш можливими, аніж будь-які інші. Якщо декілька подій: 1) утворюють повну групу; 2) несумісні; 3) рі-вноможливі, то вони мають назву "випадки".

Класична ймовірність події А - це число Р(А), до якого наближається відношення кількості появлень бажаної події А до загальної кількості можливих подій вибіркового простору при збільшенні незалежно виконаних випробовувань:

_ кількість _ появлень _ бажаної _ події _ А

Р(А)= : : ттт-.(3.1)

загальна _ кількість _ можливих _ подій

Якщо результати досліду зводяться до схеми випадків, то ймовірність події А обчислюється як відносна частота здійснення події А: