Розділ «3.4. ТЕОРЕТИЧНІ РОЗПОДІЛИ ВИПАДКОВИХ ВЕЛИЧИН»

Розподіл і Стьюдента - це розподіл випадкової величини

т=% (3.62)

де випадкові величини и і X незалежні, и має стандартний нормальний розподіл N(0,1), а X- розподіл хі-квадрат з п ступенями вільності. При цьому п називається "числом ступенів вільності" розподілу Стьюдента.

Розподіл Б Фишера - це розподіл випадкової величини

б = к-, (3.63)

де випадкові величини Х1 і Х2 - незалежні і мають розподіли хі-квадрат з числом ступенів вільності к1 і к2 відповідно.

Отже, розподіли х2 (хі-квадрат), ї Стьюдента і Б Фішера є похідними від нормального закону. Розглянемо властивості цих розподілів докладніше.

Розподіл /2 "хі-квадрат" можна отримати за схемою повторних випробувань, якщо з генеральної сукупності нормально розподілених значень з нульовим середнім (м=0) і одиничним стандартним відхиленням (о=1) випадковим методом вилучати незалежно п значень X1, X2, Xn, а потім розраховувати суму їх квадратів (X1)2 + (X2)2 + ". + (X,,)2. У результаті багаторазових випробувань значення цих сум будуть мати розподіл Хп2 (хі-квадрат) з п степенями вільності. Аналітична форма запису щільності розподілу Хп2 має вигляд:

^Хп)=п 1 /п х21 oе (3.64)

де /у2 (х, п) - функція щільності розподілу х2; п - число ступенів вільності; Г() - гама-функція, яка зручно розраховується в Excel за допомогою виразу =EXP(rAMMAbMOr()). Функціяf х2 (x, и)>0 для x > 0 і f х2 (x, и)=0 для x<0.

На рис. 3.49. показано розрахунки значень і графіки щільності розподілу ^2 для трьох ступенів вільності (2; 3 і 5).

Рис. 3.49. Розрахунки і графіки щільності розподілу %

Для розрахунку розподілу х 3 числом ступенів вільності, наприклад, п=2 необхідно внести:

o у комірку В2 вираз =1ІЕХР(ГАММАНЛОГ(Б$1І2));

o у комірку В3 вираз =Б2І2Л(Б$1І2);

o у комірку В5 вираз =Б$3*$А5Л(Б$1І2-1)*ЕХР(-$А5І2);

o у комірки В6:В15 - аналогічні вирази.

У стовпчиках С і Б розраховано значення розподілу х для числа ступенів вільності п=3 і п=5.

Як видно з графіків, при збільшенні числа ступенів вільності п розподіл % наближається до нормального розподілу з середнім п і стандартним відхиленням л/2й. Якщо дисперсію можна записати як суму квадратів п незалежних випадкових значень випробувань Х1, Х2, Хп, наприклад,

'І = Л (ІХ,2 - пХ2) = (Х2 + Х2 + ...+Х2) - ^,