Розділ «3.4. ТЕОРЕТИЧНІ РОЗПОДІЛИ ВИПАДКОВИХ ВЕЛИЧИН»

Рис. 3.45. Сім'я графіків щільності нормального розподілу Популярність нормального розподілу обгрунтовано висновками центральної граничної теореми, оскільки в природі, соціальній, педагогічній сферах і ситуаціях багато випадкових величин є сумами декількох випадкових факторів. Серед сімейства нормальних розподілів особливе місце займає розподіл, який має нульове середнє fi = 0 і одиничне стандартне відхилення а = 1

f (z) = ^Lexp{- І (3.59)

Графік відповідного розподілу називається стандартним нормальним розподілом. Значення і функції щільностіf z), і розподілу Ф(г) можна отримати за допомогою або спеціальних таблиць18, або комп'ютерних програм, зокрема, функцій MS Excel =НОРМРАСП() і =НОРМСТРАСП() (див. рис. 3.46).

Стандартному нормальному розподілові притаманні такі властивості:

o площа, яка має сенс ймовірності під графіком щільності, дорівнює 1;

o крива графіку не перетинає вісь z хоча і наближається до неї у міру того, як z стає більше трьох, але ніколи її не торкається;

o найвища точка кривої щільності розподілу 0,3989 розташована над нульовим значенням z ;

18 Болыпев Л.Н., Смирнов Н.В. Таблицы математической статистики. - М.: Наука, 1965 (1-е изд.), 1968 (2-е изд.), 1983 (3-е изд.).

Рис. 3.46. Значення і графіки стандартного нормального розподілу

o стандартна нормальна крива завжди буде симетричною щодо вертикалі, проведеної через і = 0, її асиметрія і ексцес дорівнюють нулю;

o всяку іншу нормальну криву можна сумістити із стандартною за допомогою операції нормалізації (перехід від змінної х до і див. розділ 2.2 )

і, =^~^; (3.60)

o якщо випадкові величини X 1 і Х2 мають функції нормального розподілу И(р1; сі) і N(^2; (72) відповідно, то випадкова величина (X 1 + Х2) має нормальний розподіл N (/^ + ^2 ;д/ег2 +<т2);

o якщо випадкові величини Х1, Х2, Хп є незалежними і мають один той

_ Х + Х + + Х

самий розподіл N(м; о), то їхнє середнє арифметичне Х = -1-2----

п

має нормальний розподіл N(¿1; <у і4п).

Як відомо, площа під кривою функції щільності має сенс ймовірності. Загальна площа під нормальною кривою, де абсциса х змінюється від -оо до + оо, дорівнює 1. А це значить, що ймовірність р того, що х будуть приймати будь які значення (від -оо до + оо), дорівнюватиме 1 (або 100%).

Ймовірність того, що х прийматиме значення від х1 до х2, дорівнюватиме значенню відповідної площі під нормальною кривою, обмежену з боків цими значеннями. Для нормованої нормальної кривої (де а =1) значення х можна записувати в одиницях стандартного відхилення а, наприклад "х змінюється від -1а до +1о", або "х змінюється від -1 до +1".