Розділ «3.4. ТЕОРЕТИЧНІ РОЗПОДІЛИ ВИПАДКОВИХ ВЕЛИЧИН»

п -1 ,-=1 п -1 п -1

то величина 8Х2 може мати розподіл /2". Тому природно, що розподіли х використовують у статистичних висновках щодо дисперсій (див. розділ 5.4) .

Розподіл і Стьюдента. Властивості нормального розподілу можна використовувати лише тоді, коли обсяг вибірки п є "достатньо великим" - на це звертає увагу центральна гранична теорема. Проте в реальних умовах обсяг вибірки, як правило, не є "достатньо великим". У цих умовах використовують інші розподіли. Одним із найважливіших вважається розподіл Стьюдента:

Г'(Х,п) =^Ґп ^ + Т ] ,(3.65)

де /і(х, п) - функція щільності розподілу Стьюдента; п - число ступенів вільності; Г() - гама-функція.

На рис. 3.50. показано розрахунки розподілу Стьюдента для ступенів вільності (1; 2 і 8) і для порівняння відповідні значення нормального розподілу.

Для розрахунку щільності розподілу Стьюдента з числом ступенів вільності п=1 необхідно внести:

o у комірку В2 вираз =ЕХР(ГАММАНЛОГ((Б$1+1)/2));

o у комірку В3 вираз =ЕХР(ГАММАНЛОГ(Б$1/2));

o у комірку В4 вираз =В2/В3/КОРЕНЬ(Б$1*ПИ());

o у комірку В7 вираз =В$4*(1+$А7л2/В$1)л(-(В$1+1)/2);

o у комірки В8:В19 внести аналогічні вирази;

У стовпчиках С і Б розраховано значення розподілу Стьюдента для числа ступенів вільності п=2 і п=8. У стовпчику Е - значення щільності нормального розподілу, для чого, наприклад, у комірку Е7 слід внести вираз =НОРМРАСП(А7;0;1;0).

Розподіли Стьюдента для трьох ступенів вільності (1; 2 і 8) можна розрахувати за допомогою функції =СТЬЮДРАСП(). Так, у комірку Р7 необхідно внести =СТЬЮДРАСП(АВ8($А7);Р$1;1), аналогічні вирази внести у комірки Р8:Р13. У комірку Б14 внести =1-СТЬЮДРАСП(АВ8($А14);Р$1;1), аналогічні вирази внести у комірки Р15:Р19. Такі ж дії провести у стовпчиках в і Н.

Рис. 3.50. Значення розподілів Стьюдента і розподілу N(0,1)

Для розрахунку нормального розподілу у комірку 17 внести вираз =НОРМРАСП(Л7;0;1;1), аналогічні вирази внести у комірки 18:119.

На рис. 3.51. показано сімейство графіків розподілу Стьюдента для трьох ступенів вільності (1; 2; 8), а також графік стандартного нормального розподілу N(0,1).

Як видно, при збільшенні числа ступенів вільності п розподіли Стьюдента асимптотично наближаються до нормального розподілу. Коли обсяг вибірки п стає "достатньо великим", тобто практично п -" со, розподіли Стьюдента збігаються з нормальним розподілом. Найчастіше розподіли Стьюдента використовують у статистичних висновках щодо середніх (див. розділ 5.4).

Розподіл Б Фішера можна отримати, використовуючи схему повторних випробувань, коли з генеральної сукупності нормально розподілених значень з параметрами (м=0 і о=1) випадковим методом спочатку формують першу змінну х1 з розподілом "хі-квадрат" і степенями вільності п, а потім незалежним шляхом формують другу змінну х2 з розподілом "хі-квадрат" і степенями вільності т. Нова випадкова величина, що має властивості розподілу Фішера, складатиметься з відношення

р =Х±/ Х±. (3.66)