Розділ «3.4. ТЕОРЕТИЧНІ РОЗПОДІЛИ ВИПАДКОВИХ ВЕЛИЧИН»

Для значень х від -1а до +1(7 площа (і відповідна ймовірність приймати значення /і ± а) дорівнюватиме 0,683 (або ймовірність 68,3%).

Для значень х від -2а до +2(7 площа (і відповідна ймовірність приймати значення /і ± 2а) дорівнює 0,954 (або 95,4%).

Для значень х від -3а до +3а площа (і відповідна ймовірність) дорівнює 0,997 (або 99,7%). Слід звернути увагу на те, що 99,7% значень сукупності (тобто практично всі її значення) знаходяться в межах середнього /г ± 3а. Цей факт отримав своєрідну назву "закон трьох сигм".

Як отримати значення ймовірностей з використанням нормального розподілу? Поряд з класичними формулами, які виглядають занадто громіздкими і дуже незручними, існують спеціально розраховані статистичні таблиці. Проте найпотужнішим способом вважаються комп'ютерні засоби.

Щоб підрахувати ймовірність (площу), наприклад, для значень х від -1а до +1(7 , необхідно виконати 3 дії:

o визначити ймовірність р1 для х від -оо до -1а за допомогою функції =НОРМРАСП(-1; 0; 1; 1), яка поверне значення 15,866%;

o визначити ймовірність р2 для х від -оо до +1(7 за допомогою функції =НОРМРАСП(+1; 0; 1; 1), яка поверне значення 84,134%;

o визначитир = р2- Рі = 84,134% - 15,866% = 68,269% ~ 68,3%..

В математичній статистиці часто виникає необхідність вирішувати зворотні завдання типу: "визначити х, якому відповідає певна ймовірністьр". Наприклад, для якого значення х, починаючи від ймовірність складатиме 5%?

З математичної точки зору необхідно визначити таке 2, яке обмежує ординатою зліва 5% площі під нормальною кривою (див. рис. 3.47).

Рис. 3.47. Розподіл N(0,1) має параметр z 0;о5 ~ -1,64

Традиційно це завдання також вирішувалося за допомогою спеціальних статистичних таблиць. Проте, можна запропонувати використовувати функцію MS Excel =НОРМОБР( р; fi; о), яка повертає значення z для заданих ймовірності р, середнього fi, стандартного відхилення а. Так, для /><0,05, fi = 0 і а = 1 функція =НОРМОБР(0,05; 0; 1) поверне значення z ~ -1,64485. Аналогічно для/7<0,01 =НОРМОБР(0,01;0;1) поверне значення z ~ -2,32635 і т.д.

Для безлічі нормальних кривих, що відрізняються один від одного значеннями fi і а, важливою загальною властивістю є те, що будь-яка частина площі (яка асоціює ймовірність) під нормальною кривою може бути виражена в середніх fi і стандартних відхиленнях а. Наприклад, в будь-якому нормальному розподілі приблизно 95% площі під кривою лежить в межах двох а від середнього fi (якщо точно визначати, то 95% площі лежить в межах середнього fi від -1,96с до +1,96ег (див. рис. 3.48);

Рис. 3.48. Розподіл N(0,1) має параметр г 0025| ~ 1,96

Важливість використання в різноманітних педагогічних і психологічних дослідженнях нормального розподілу пояснюється висновками центральної граничної теореми, яка є фундаментальним проявом закону великих чисел. Між тим в конкретних прикладних задачах нормальність результатів випробувань встановити із загальних міркувань, як правило, не можливо. Нормальність варто перевіряти за допомогою статистичних критеріїв, або ж використовувати непараметричні методи (див. розділ 5.3).

Розподіли "хі-квадрат", Стьюдента і Фішера

При побудові статистичних моделей нормальному законові безумовно належить центральне місце. Проте намагання використовувати його для моделювання розподілу емпіричних даних у будь-якому разі не завжди є обгрунтованими. Більш істотно те, що багато методів обробки даних засновано на розрахункових величинах, що мають хоча й інші, але близькі розподіли до розподілу нормального. Крім того, за допомогою нормального закону визначаються широко розповсюджені в математичній статистиці розподіли х2 (хі-квадрат), і Стьюдента і Б Фішера.

Розподіл /2 (хі-квадрат) - це розподіл випадкової величини

X = X2 + X22 + ... + Xn2, (3.61)

де випадкові величини X1, X2, Xn є незалежними і мають той самий стандартний нормальний розподіл N(0,1). Кількість доданків п називається "числом ступенів вільності" розподілу хі-квадрат.