Розділ «3.3. ЗАКОН ВЕЛИКИХ ЧИСЕЛ»

пунова переходить у теорему Ліндеберга-Леві (3.49).

Сенс центральної граничної теореми такий: якщо обсяг вибірки п є "достатньо великим", то незалежно від форми розподілу параметра /г генеральної сукупності вибіркове середнє X має розподіл, близький до нормального. Отже, оцінку генерального середнього /г за його вибірковим значенням X можна виконувати на основі нормального розподілу. Схема дослідження може бути такою:

o вибираємо випадковим методом п об'єктів х1, х2, хп з генеральної сукупності (для практичних цілей п повинно бути не менше 30, тобто п>30);

- 1 п

o розраховуємо вибіркове середнє X = -^Xі;

п ,=1 '

o виконуємо статистичне оцінювання і формулюємо висновки на основі нормального розподілу (див., наприклад, розділ 5.4).

Центральна гранична теорема - це клас теорем теорії ймовірностей, що затверджують, що сума великої кількості незалежних (або слабко залежних) випадкових величин має розподіл, близький до нормального.

Дуже важливо те, як діють ті причини, з яких складається сукупний результат вимірювань або спостережень: якщо діють аддитивно (тобто шляхом додавання), то величина x має приблизно нормальний розподіл; якщо муль-типлікативно (тобто дії окремих причин перемножуються), то розподіл x є близьким не до нормального, а до так званого логарифмічно нормального, тобто не x, а має приблизно нормальний розподіл. Якщо ж немає підстав стверджувати, що діє один із цих двох механізмів формування підсумкового результату, то про розподіл випадкової величини x нічого певного сказати не можна.

Запитання. Завдання.

1. Які Ви знаєте прямі експериментальні підтвердження того, що частота здійснення деяких подій близька до ймовірності.

2. В чому є прояв дії так званого закону великих чисел?

3. Прокоментуйте результати дослідів Кетле.

4. Сформулюйте і поясніть теорему Бернуллі.

5. Сформулюйте і поясніть теорему Чебишева. Чим вона відрізняється від теореми Бернуллі?

6. Сформулюйте і поясніть центральну граничну теорему для однаково розподілених доданків (теорему Ліндеберга-Леві).

7. Сформулюйте і поясніть теорему Ляпунова.

8. Повторіть математичні процедури завдань за прикладами 3.16 - 3.18.