Розділ «3.3. ЗАКОН ВЕЛИКИХ ЧИСЕЛ»

Одним з принципових питань математичної статистики є характер співвідношення параметра є і кількості незалежних випробуваннях п. Відповідь на це питання також дає закон великих чисел.

Приклад 3.17. Для умов прикладу 3.16 оцінити співвідношення кількості незалежних випробувань п і параметра є для трьох значень є (0,1; 0,05; 0,01).

Рішення:

Результати і формули розрахунку п згідно з теоремою Бернуллі (3.40) для різних значень є представлено в табличній формі на рис. 3.29.

Як бачимо з рис. 3.29 (див. стовпчики D і E), при зменшенні параметра е кількість необхідних незалежних випробувань п зростає пропорційно є2.

Рис. 3.29. Результати і формули розрахунку n для різних є

Відповідь: чим жорсткіші умови є щодо зменшення різниці між емпіричною частотою події та її теоретичною ймовірністю, тим більшої кількості випробувань потребують такі досліди.

Теорема Чебишева

Центральна гранична теорема

Розглянемо два варіанта центральної граничної теореми.

1. Центральна гранична теорема для однаково розподілених доданків -теорема Ліндеберга-Леві.

Для незалежних однаково розподілених випадкових величин X1, X2, X,, з математичними сподіваннями МРУ;] = Ц і дисперсіями D[X1] = а2 (і = 1, 2,

17 Визначена оцінка іноді є заниженою, наприклад, для нормального розподілу вона складає біля 0,997 (за так званим закон трьох сигм, див. розділ 3.4).

U =X1 + X2 + ...+Xn -M[X 1-M[X2-...-M[Xn n ,/D[ X 1 + D[ X, + ... + D[ Xn '

З урахування виразів (3.46) і (3.47) випадкова величина Un виглядатиме як

Un = X1 + X2 + >+Xn ~n" . (3.48)

cw n

Для величини Un математичне сподівання M[Un = 0, дисперсія D[Un = 1. Тоді при n-*" для будь-якого числа х існує границя

lim РІ X1 +X 2 + >+Xn ~ < x) = Ф( x), (3.49)

де Ф(х) - функція стандартного нормального розподілу