Розділ «3.3. ЗАКОН ВЕЛИКИХ ЧИСЕЛ»

Отже, частота події і її імовірність не співпадають, проте різниця між ними зменшується при збільшенні числа випробувань. Це значить, що статистичні закономірності виявляються тільки у багаторазових повторних випробуваннях і кількість таких випробувань п повинна бути значною.

Теорема Бернуллі

Теорема Бернуллі стверджує: якщо т - кількість подій А в п попарно незалежних випробуваннях, а р є ймовірність настання події А в кожнім з випробувань, то при будь-якому є>0 справедлива нерівність

Ця формула є першим в історії варіантом закону великих чисел і по суті вважається початком теорії ймовірностей як галузі математичної науки. Відтоді теорії вибіркового методу стають основою математичної статистики.

Теорема Бернуллі дає можливість оцінити кількості незалежних випробувань п при певних умовах їх проведення.

Приклад 3.16. Ймовірність того, що навмання вибраний студент складе залік, дорівнює 90%. Скільки треба перевірити студентів, щоб з імовірністю 80% виявити успішно підготовлених студентів. Похибка при цьому не повинна перевищувати 10%.

Рішення:

Визначимо відповідні до теореми Бернуллі позначення:

р = 0,90 - ймовірність того, що навмання вибраний студент складе залік;

є = 0,10 - похибка процедури перевірки студентів;

рі OL - p > o,101 =0,80 - ймовірність виявлення підготовлених студентів.

Іп J

Значення ймовірності не перевищити похибку у 10% процедури перевірки студентів складає

р|L - p < 0,ю|=1 - 0,80 = 0,20.

При цьому повинна виконуватися нерівність правої частини виразу (3.40)

p^ < 0,20.

пє

Звідси кількість студентів, яких треба перевірити, визначиться як

p(1 - p) 0,90 o (1 - 0,90) 0,90 o 0,10 0,20 -є1 0,20 o (0,10)2 0,20 o 0,01

Відповідь: для того, щоб з імовірністю 80% виявити успішно підготовлених студентів з похибкою не вище 10%, треба перевірити більше ніж 45 осіб.