Розділ «3.3. ЗАКОН ВЕЛИКИХ ЧИСЕЛ»

Для практики застосування математичного апарату теорії ймовірностей важливе значення має відповідь на питання про те, чи співпадають апріорні (теоретичні) ймовірності зі статистичними (емпіричними) ймовірностями, представленими у вигляді частот? І якщо так, то при яких умовах?

Даючи принципово позитивну відповідь на це питання, численні досліди і

т

спостереження показали, що частоти випадкових подій типу - наближа-

п

ються до їхніх ймовірностей р у міру збільшення числа випробувань и. Наприклад, якщо одну й ту ж монету підкидати велику кількість разів, то в якомусь числі випробувань випаде "герб", а в інших випаде "цифра". Примітно те, що чим більше здійснено випробувань, тим емпірична частота події стає ближчою до її теоретичної ймовірності (для ідеальної монети/>=0,5).

Існують і прямі експериментальні підтвердження того, що частота здійснення деяких подій близька до ймовірності, визначеної з теоретичних міркувань, наприклад, результати випробувань з підкиданням монети (табл. 3.6).

З табл. 3.6 видно, що при збільшені числа випробувань п відхилення част

тоти події від її ймовірності--р зменшується. У цьому факті є прояв дії

п

так званого закону великих чисел: вибіркові характеристики при зростанні числа дослідів наближаються до теоретичних, а це дає можливість оцінювати параметри імовірнісних моделей за даним дослідів.

Таблиця 3.6

Результати випробувань

Закон великих чисел носить об'єктивний характер і має відповідну емпіричну базу. Висновки закону підтверджують, наприклад, досліди Кетле: в урну поміщали 20 білих і 20 чорних куль, потім витягували з неї навмання одну кулю, реєстрували її колір і повертали кулю назад. Кожне випробування повторювали багато разів. Ймовірність появи білої або чорної кулі залишалася при цьому постійною, рівною 1/2 (див. табл. 3.7).

Таблиця 3.7

Результати дослідів Кетле

З табл. 3.7 видно, як із збільшенням числа випробувань співвідношення білих і чорних куль наближається до одиниці.

т

Закон великих чисел стверджує, що частота - події А буде скільки зап

вгодно близькою до її ймовірності р, якщо число випробувань п необмежено зростає. Можна взяти скільки завгодно мале число є і порівнювати його з різницею між відносною частотою і ймовірністю події. Ймовірність того, що ця різниця перевищить число є, прагнутиме до нуля при прагненні числа випробувань п до нескінченності: